Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung
Ubungsblatt 10 COMPUTERALGEBRA I 21.12.2006
Aufgabe 1: (Division mit Rest) Implementieren Sie eine Funktion PolyDivMitRest[a,b,x], die fur zwei Polynome a(x); b(x) den Quotienten und den Rest von a(x) bei Division durch b(x) berechnet.
(6 Punkte)
Aufgabe 2: (Polynominterpolation) Berechnen Sie die Polynomapproximation der Funktion sin(x) im Intervall 1
2;12
mit Hilfe der interpolierenden Stutzpunkte 1
2; 16; 0;16;12 .
1. Welche Besonderheit weist der Grad dieses Interpolationspolynomes auf? Aus welchem (moglichst kleinen) Grundring kann man die Koezienten wahlen? Welchen Grundring benotigt man, wenn man 13 und/oder 13 als weitere Stutzstelle hinzunehmen will?
2. Stellen Sie die Approximation (zusammen mit der approximierten Funktion) graphisch dar.
3. Bestimmen Sie den Fehler ihrer Approximation aus 1., indem Sie den Fehler im Intervall 0;12 an vielen (> 100) gleichmaig verteilten Stutzstellen ausrechnen, und daraus das Maximum auswahlen. Warum reicht es, nur das rechte Teilintervall
0;12
zu betrachten?
(8 Punkte)
Aufgabe 3: (Erweiterter eukl. Algorithmus: Ganzzahlige Darstellung) Verwenden Sie die Funk- tion PolynomialExtendedGCD, um aus zwei Polynomen a(x); b(x) 2 Z[x] eine Darstellung
g(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x) zu nden, mit
g(x); s(x); t(x) 2 Z[x];
wobei g(x) ein ganzzahliges Vielfaches des GGT von a(x) und b(x) in Q[x] ist. Dabei sollen a(x); b(x) moglichst kleine Koezienten haben in dem Sinne, dass in der gesuchten Darstellung keine Nichteinheit mehr herausgekurzt werden kann. Testen Sie Ihre Funktion an Beispielen.
(5 Punkte)
Aufgabe 4: (Faktorisierung in Zp) Faktorisieren Sie fur die ersten 20 Primzahlen 1. x6 x5 x2+ 1 mod p
2. 5x4 4x3 48x2+ 44x + 3 mod p.
Was erfahren Sie aus den berechneten Faktorisierungen uber eine mogliche Faktorisierung uber Z?
(5 Punkte)
Abgabetermin: Dienstag, 16.01.2007, 09.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de
