Dr. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 10¨ COMPUTERALGEBRA I 01.07.2010
Aufgabe 1: (Carmichaelzahlen)
Eine Zahl p heißt Carmichaelzahl, wenn Sie zusammengesetzt ist, aber ap ≡ a mod p f¨ur alle a∈Zp gilt. Eine Zahlp ∈N≥4 ist genau dann eine Carmichelzahl, wenn
(a) p =p1· · ·pn mit paarweise verschiedenen Primzahlenpk ∈P (b) pk−1|p−1 f¨ur allej = 1, . . . , n
gilt.
(a) Sei k∈Nund m∈N\ {1,2}. F¨ur die Zahl
p = (6k+ 1)·(12k+ 1)·
m−2
Y
i=1
(9·2ik+ 1) (1)
gilt: Ist jeder Faktor von p prim und teilt 2m−4 die Zahl k f¨ur m ≥5, so ist p eine Carmi- chaelzahl.
Zeigen Sie die Aussage f¨ur m= 4,5,6.
(b) Verwenden Sie Gleichung (1), um mit Mathematica Carmichaelzahlen mit vier, f¨unf bzw.
sechs Primfaktoren zu finden.
Zusatz: Schaffen Sie es auch mit Ihrem Programm eine Carmichaelzahl mit neun Primfak- toren zu finden?
(12 Punkte)
Aufgabe 2: (Erweiterter Eukl. Algorithmus: Ganzzahlige Darstellung)
Verwenden Sie die Funktion PolynomialExtendedGCD, um aus zwei Polynomena(x), b(x)∈Z[x] eine Darstellung
g(x) =s(x)a(x) +t(x)b(x) zu finden, mit
g(x), s(x), t(x)∈Z[x],
wobei g(x) ein ganzzahliges Vielfaches von gcd(a(x), b(x)) ist. Dabei sollen s(x), t(x) m¨oglichst kleine Koeffizienten haben in dem Sinne, dass in der gesuchten Darstellung keine Nichteinheit mehr herausgek¨urzt werden kann. Testen Sie Ihre Funktion an Beispielen.
(6 Punkte)
Abgabetermin:bis sp¨atestens Donnerstag, 15.07.2010, 08.15 Uhr anmario.albert@gmx.de.
