Prof.Dr. W.Koepf
Dr. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 04¨ COMPUTERALGEBRA II 18.11.2010
Aufgabe 1: (Abgebrochene Potenzreihen) (a) Geben Sie die formalen Potenzreihen
a(x) =
∞
X
k=0
xk , b(x) =
∞
X
k=0
1
k + 1xk sowie c(x) =
∞
X
k=0
k!xk
als Reihen bis zur Ordnung 10 ein.
(b) Berechnen Sie alle m¨oglichen Summen und Produkte der drei Reihen.
(c) Beschreiben Sie genau die Bedeutung der einzelnen Komponenten eines SeriesData- Objektes.
(d) Benutzen Sie die Ergebnisse aus (c) zur Programmierung der Funktion PowerSeriesQ[a], welche angibt, obaeine Potenzreihe ist oder nicht (im Unterschied zu einer Laurent- oder Pui- seuxreihe), sowie der FunktionenVariable[a],Ordnung[a], Abbruchordnung[a], welche die Variable, die Ordnung bzw. die Abbruchordnung der Reiheaausgeben. All diese Program- me sind Einzeiler!
(e) Programmieren Sie den Algorithmus aus Satz 10.1, d. h., implementieren Sie eine Prozedur Kehrwert[a], welche den Kehrwert vonaausgibt1. Berechnen Sie damita(x)−1, b(x)−1und c(x)−1.
(8 Punkte)
Aufgabe 2: (Inverse Potenzreihen bzgl. Komposition)
(a) Programmieren Sie den Algorithmus aus Satz 10.2 als MyInverseSeries[a].
(b) Bestimmen Sie jeweils das Taylorpolynom zehnten Grades der Inversen von f(x):
(i) f(x) =ex−1;
(ii) f(x) =√ x (iii) f(x) =x2; (iv) f(x) = ln(1 +x);
(v) f(x) =x ex.
(c) Vergleichen Sie Ihre Resultate aus (b) mit denen vonInverseSeries.
(8 Punkte)
Abgabetermin:bis sp¨atestens Donnerstag, 25.11.2010, 08.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de.
1Sie k¨onnen die FunktionenSolve,Table,Sum,CoefficientListundJoinverwenden.
