E ~ 0,diefürdieWechselwirkungmaÿgebendist)(0, 1 · 10 − 10 m − 10 · 10 − 10 m).Man

A06 Strukturanalyse mittels

Röntgenstrahlung - Vorbereitung

1 Physikalische Grundlagen des Versuchs

1.1 Röntgenstrahlung

DieRöntgenstrahlungkannerzeugtwerden,indemmanmiteinerHeizkathodefreieElek-

tronen erzeugt, diese über eine hohe Anodenspannung (

U = 50 − 300 V

⁾ beschleunigt, elektronenoptisch bündelt (z.B. Wehnelt-Zylinder) und den Elektronen dann eine An-

tikathode aus Metallmit hoher Massenzahl gegenüberstellt. Beim Aufprall auf die An-

tikathode verlieren die Elektronen Energie, welche in Strahlung (ca. 1%) und Wärme

(ca. 99%)umgewandelt wird. Röntgenstrahlung besteht auskurzwelligen elektromagne-

tischen Wellen (z.B. ebene EM-Welle (transversal)

E ~ = E ~ ₀ sin ω t − ^x _v

^{,mit der Am-}

plitude

E ~ ₀

^,diefürdieWechselwirkungmaÿgebendist)(

0, 1 · 10 ^{− 10} m − 10 · 10 ^{− 10} m

^).Man

unterscheidetzweiArtenderentstehendenStrahlungzumeinendieBremsstrahlung,wel-

che ein kontinuierliche Spektrum aufweist und eine Grenzfrequenz besitzt, die von der

Beschleunigungsspannung abhängt (Duane-Hunt-Gesetz) und zum anderen die charak-

teristischeEigenstrahlung, welchematerialabhängig ist undnurwenigecharakteristische

Peaksaufweist.DiecharakteristischeEigenstrahlungentsteht,indembeimAufpralleines

beschleunigten Elektrons, ein Elektron auseiner inneren Schale (z.b.K-Schale) heraus-

geschlagen wird und dieses dann von einem Elektron aus einer weiteraussen liegenden

Schaleersetzt wird.Es wirdsehrhohe Energie zumHerausschlageneines innerenElek-

trons benötigt, welche in

keV

^{Ordnung liegt. Die} Dierenzenergie zwischen äuÿerem undinnerem Elektron wirdinFormeines Photonsbeim Übergangdesäuÿeren Elek-

trons nach innen abgegeben, sie entspricht der charakteristischen Eigenstrahlung (in

unseremFall werden wireineK

α

^{- undeineK}

β

^{-Liniebeobachtenkönnen).}

Die groÿtechnische Erzeugung von Röntgenstrahlung wird heutzutage durch die Syn-

chrotronstrahloung ermöglicht.

Die Intensitätsverteilung der Röntgen-Bremsstrahlung ist in folgender Graphik (

[1]

S.788) zunden:

DasRöntgenspektrum bricht beieiner Grenzfrequenz

ν _gr

^{ab,für diedas}Duane-Hunt- Gesetz gilt:

hν _gr = eU

^oder

λ _gr = hc

eU = 1234 nm

U ,

^mit

U

ⁱⁿ

V

Beispielhaft nachfolgend das Röntgenspektrum (

[1]

^{S.789) einer} Kupfer-Antikathode mit den beidenPeaks derK

α

^{-und K}

β

^-Linie:

Die FrequenzderK

α

^{-Linieist durchMoseley gegeben mit:}

ν K α = 3

4 R ∞ (Z − 1) ²

mitderOrdnungszahl

Z

^{.Diesesfolgtauseiner}AbschirmungunddemRydberg-Gesetz für das Wasserstoatom (in diesem Fall Übergang von

n = 2

^nach

n = 1

^{). Man muss}

beiderErzeugung dercharakteristischen Strahlung beachten,dassnicht jedesherausge-

schlageneElektronauchzu dieserführt,da derkonkurrierendeinnerePhotoeektstrah-

lungslose Übergängeerzeugen. Diesfunktioniert, indem dasRöntgenphoton im gleichen

Atomwiederabsorbiert wirdundeinweiteresElektron abspaltet, wobeidasabgespalte-

neElektrondieDierenzderbeteiligtenÜbergangsenergienalskinetischeEnergieerhält

(Auger-Eekt).

1.1.1 Kohärenz

Wellensindkohärent,wenndieZeitabhängigkeitderAmplitudeinihnenbisaufeinePha-

senverschiebungdiegleicheist.Manspricht vonkohärenterStreuung, wennkeinProzess

zwischen demAuftreenund Wiederaussenden desLichtes auf einStreuobjekt stattn-

det, derdie Schwingungsform ändert. DasStreuobjekt wird selbstzum Erregerzentrum

derWelle,das mit derursprünglichen in Phaseist oder zumindest einefeste Phasenbe-

ziehung besitzt, d.h. das Streuobjekt nimmt keine Wellenenergie auf und kann daher

auch nicht zu einem späteren Zeitpunkt diese wieder aussenden und so die Phasenbe-

ziehung stören. Im Falle das elektronische Resonanzen in der Nähe der eingestrahlten

Photonenliegen,kanneszurResonanzabsorptionkommen,dieshättezurFolge, dassdie

Steuung inkohärent würde und ein Streuungsexperiment mit diesem Streuobjekt nicht

mehrmöglich wäre.

Die Atome/Moleküle in Kristallen besitzen eine periodische Anordnung in einem Git-

ter. Die Kristalle können aus den Bravaisgittern, von denen es im dreidimensionalen

14 verschiedene gibt, erzeugt werden. Bravaisgitter sind translationsinvariant, d.h. sie

geheninsich selbstüber, wenn mandie Gitterpunkteumeinen Translationsvektor ver-

schiebt,bzw. esexistiert eineunendliche WiederholungidentischerAtomgruppen,wobei

diese Basis genannt werden. Für unseren Versuch sind die Natriumchlorid- (NaCl) und

dieZinksuldstruktur (ZnS)von Interesse,da NaClalsEichsubstanz dient und dieZnS

Struktur erforscht werden soll. Die NaClStruktur ist fcc (kubisch ächenzentriert) mit

einer Basis aus Cl bei (

000

^{) und Na bei (}

¹ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂

^{). Die} Gitterkonstante des NaCl beträgt

a

NaCl

= 5, 63 · 10 ^{− 10} m

⁽

[2]

^{). Die zu} erforschende Zinkblendestruktur ähnelt der Dia- mantstruktur,istjedochaufGrundder2ionigenBasiskomplexer.Manstelltsichzweifcc

Gittervor,wobeiaufeinemdieZn

2+

-IonenundaufdemanderendieS

2 −

-Ionensitzen,die

umeinViertelderRaumdiagonaleversetztsind.DerLiteraturwertderGitterkonstanten

für ZnSlässtsich mit

a

ZnS

= 5, 41 · 10 ^{− 10} m

⁽

[2]

^{) nden.}

1.3 Röntgenstreuung

DasBeugungsbildeines KristallsisteineAbbildungdesreziprokenKristallgitters,daher

werden wir unsere Berechnungen im reziproken Raum ausführen. Die Fouriertransfor-

mation verbindet den realen Raum mit dem reziproken Raum, wobei die primitiven

Gittervektoren (

~a j

^{)mit den primitiven Vektoren desreziproken Gitters (}

~b i

^{) überz.B.:}

~b ₁ = 2π ~a ₂ × ~a ₃

~a ₁ · ~a ₂ × ~a ₃

verbundensind. Es giltdieBeziehung

~b i · ~a j = 2πδ ij

^{.Die Punkteimreziproken Gitter}

sinddurch dieMenge von Vektoren

G ~ = h~b ₁ + k~b ₂ + l~b ₃

mit den Miller-Indizes

hkl

festgelegt. Die reziproken Gittervektoren bestimmen die möglichen Röntgenreexe. DieStreuamplitudeergibt sichausderFouriertransformation

derLadungsdichteverteilung zu:

F ∆ ~k = Z

dV n (~ r) exp − i∆~k · ~ r = ^X

G ~

Z

dV n _{G ~} exp i G ~ − ∆ ~k · ~ r

mit

∆~k = ^4π _λ sin θ

^{.Giltdie zur}Bragg-Bedingung

2d sin θ = nλ

äquivalenteBeugungs- bedingung

∆~k = G ~

^(s.

[3]

^{S.36+37), so wird die} Streuamplitude

F = V n _{G ~}

^{, da das}

Argumentdesexponentiellen Anteilsverschwindet.FüreinenKristall mit

N

^Zellenkön-

nen wir dann schreiben

F _{G ~} = N ^R _Zelle dV n (~ r) exp − i ~ G · ~ r = N S _{G ~}

^{, mit der Elektro-}

nenkonzentration

n (~ r)

^{und dem} Strukturfaktor

S _{G ~}

^{. Wir denieren den Atomfaktor}

f j

als:

f _j = Z

dV n _j (~ ρ) exp − i ~ G · ~ ρ .

Wirerhaltenmit Hilfe von

G ~

^diegebräuchliche DarstellungdesStrukturfaktors mit:

S _{G ~} (hkl) = ^X

j

f j exp ( − 2πi (hx j + ky j + lz j )) .

⁽¹⁾

WirbetrachtendieStrukturfaktorenfür unser Problem:

S

NaCl

= f

Na

n 1 + e ^{− iπ(h+k)} + e ^{− iπ(h+l)} + e ^{− iπ(k+l) o} + f

Cl

n e ^{− iπh} + e ^{− iπk} + e ^{− iπl} + e ^{− iπ(h+k+l) o}

S

ZnS

= f

Zn

n 1 + e ^{− iπ(h+k)} + e ^{− iπ(h+l)} + e ^{− iπ(k+l) o}

+ f

S

n e ^{− i}

π

2 (h+k+l)

1 + e ^{− iπ(h+k)} + e ^{− iπ(h+l)} + e ^{− iπ(k+l) o}

Gleichzeitig gilt für den Abstand

d (hkl)

^{zweier paralleler} Gitterebenen diesenkrecht zu

G ~

^stehen:

d (hkl) = 2π

G ~

(2)

wobei

d

^{somit die} Gitterkonstante darstellt. Die Streuamplitude

F ∆ ~k

^{ist die FT}

derFaltung derElektronendichte derAtome mit derVerteilung der Atome inderBasis

und derperiodischen Anordnung derBasis imGitter. UnserMessgröÿeist also:

I G ~ _hkl = S _{G ~} ² · A · LP = SS ∗ · A · LP.

⁽³⁾

mit

A =

SummenindexderBraggreexe und

LP = ( ^{1+cos 2 (2θ)} )

(sin θ · sin 2θ)

^{dem Lorentz- und}

Polarisationsfaktor. Da unser zu erforschender Kristall in Pulverform vorliegt, ist das

reziprokeGitter orientierungsgemittelt undsomitsind nur noch die

G ~

zugänglich.Wir erhalten also anstatt eines Gitterpunktes eine Linie, während das Hauptmaximum für

alle Kristalle gleich bleibt.

1.4 Debye-Waller-Faktor

DerDebye-Waller-Faktor gibtdieTemperaturabhängigkeit derIntensität derBraggRe-

exean.DasichdieAtome,welcheanden Gitterpunktensitzennicht inRuhebenden,

sonderntemperaturabhängigoszillieren,nimmtdieIntensitätab,währenddieReexean

sichscharf bleiben.Wir machen dieAnnahme, dasssichjedes Atomumseine Gleichge-

wichtslage

~ r _j

^{miteinerAmplitude}

~ u (t)

^{bewegenwürde.Übereine}mittelkurzeRechnung (s. Vorlesung Festkörperphysik), erhaltenwir:

I = I ₀ exp

− 1 3

D u ² (t) ^E

t G ²

(4)

mit

E _pot = ¹ ₂ C u ² (t) _t = ¹ ₂ M ω ² u ² (t) _t = ³ ₂ k _B T,

^{womit wir}

u ² (t) _t = ^3k _{M ω} ^{B T} ₂

^erhal-

ten. Wirkönnen mit

I

^{als gemessenem Wertund}

I ₀

^als gerechneten Wert eingehen und den Debye-Waller-Faktor als:

ln I

I ₀

= − 1

3 u ^{2 D} (∆k) ^{2 E} .

⁽⁵⁾

darstellen, wobei

∆~k = G ~ = ^4π _λ sin θ

^.

2 Versuchsaufbau und Messprinzip

2.1 Röntgenstrahlungsquelle

Wirnutzen eineKupferanode alsRöntgenstrahlungsquelle, wobei dasRöntgenspektrum

bereits oben als Graph gezeigt ist.Durch Unterdrückung der K

β

^{-Linie, durch den Pho-}

toeekt, erhalten wirals charakteristische Strahlung nur noch die K

α

^{-Linie, die wir für}

unsere Streuungbenötigen.

2.2 Detektor

Wir nutzen ein Xenon-Proportionalzählrohr, wobei der Photoeekt zur Detektion aus-

genutzt wird. DasZählrohr ist mit einem Gas gefüllt, wobei in der Achse ein möglichst

dünner Draht mit einem hohen Widerstand gespannt ist, derzur Erde abgeleitet wird.

Die Rohrwand ist negativ geladen.Tritt ein ionisierendes Strahlteilchen in das Rohrin-

nere,soleitendievonihmerzeugtenIonen einenEntladungsstoÿ ein.Dieser erlischt mit

Hilfe eines Löschgases (z.B. Alkoholmoleküle) innerhalb einer kurzen Zeit, wobei wäh-

renddieser Zeit keine weiteren Detektionenstattnden können. Diese Zeitwird Totzeit

genannt undbeträgt zusammenmit derErholungszeit ca.

10 ^{− 4} s

^.

2.3 Goniometer

Ein Goniometerdient zurWinkelmessung.FolgenddasGoniometerfür unserenVersuch

(

[3]

^{),wobeimanhier gut erkennen kann,warum derWinkel}

2θ

^beträgt:

DasSchaltbild ndetsichauf derfolgendenDarstellung (

[3]

^):

2.5 Versuchsaufbau

Die Streuanordnung ist auf folgendemBild(

[3]

^{)zu sehen:}

WirmessenmitHilfedesGoniometerundeinemXe-ProportionalzählrohrsdieWinkelab-

hängigkeit der Intensität von der gestreuten Strahlung unserer Pulverprobe (bestehend

ausNaClundZnS),wobeiwirBragg-PeaksfürbestimmteWinkelerwartendieaufGrund

derKristallstrukturdieBragg-BedingungerfüllenunddurchkonstruktiveInterferenzein

Maximumbeidiesen bestimmtenWinkelnerfahren.

3 Quellen

[1]

^{D. Meschede,Gerthsen Physik,22.Auage}

[2]

^{Ch. Kittel,Einführung indieF}estkörperphysik, 14.Auage

[3]

^Fortgeschrittenenpraktikumsskript