m ’ 1000g @ 10 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen 10 T U M - W

(1)

t

30 20

10 0

16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

m'1000 g@10^{0.05 h}^&1^@t

MATHEMATIK UND STATISTIK,INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM

Biometrische und Ökonometrische Methoden I

!

Lösungen 10

1. a) GET

FILE='H:\STUDENT\MINITAB\BAKT.SAV'.

EXECUTE . b) Graph

c) COMPUTE lg_m = LG10(m) . EXECUTE .

REGRESSION

/MISSING LISTWISE

/STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN

/DEPENDENT lg_m /METHOD=ENTER t . Regression

Model B Std.Error t Sig.

(Constant) 2,998 ,007 414,435 ,000 T 5,018E-02 ,001 97,128 ,000

Der Achsenabschnitt des exponentiellen Modells ist etwa 3 und die Steigung ist 0.05 h .^!1

Das Modell lautet also: .

(2)

d) MODEL PROGRAM M_0=500 K=0.01 . COMPUTE PRED_ = m_0*10**(k*t).

NLR m

/PRED PRED_

/CRITERIA SSCONVERGENCE 1E-8 PCON 1E-8 . Non-linear Regression

All the derivatives will be calculated numerically.

Iteration Residual SS M_0 K 1 1029812494 500,000000 ,010000000 1.1 1,9916E+20 -441,07644 ,310233111 1.2 435718675,6 863,707197 ,033712175 2 435718675,6 863,707197 ,033712175 2.1 42992720,16 1172,14640 ,042499883 3 42992720,16 1172,14640 ,042499883 3.1 1650094,788 961,864650 ,050988353 4 1650094,788 961,864650 ,050988353 4.1 1510488,741 1004,28807 ,049947254 5 1510488,741 1004,28807 ,049947254 5.1 1509520,051 1004,82197 ,049954900 6 1509520,051 1004,82197 ,049954900 6.1 1509520,050 1004,82336 ,049954864 Run stopped after 13 model evaluations

and 6 derivative evaluations.

Iterations have been stopped because the relative reduction between successive residual sums of squares is at most SSCON = 1,000E-08

Nonlinear Regression Summary Statistics, Dependent Variable M Source DF Sum of Squares Mean Square

Regression 2 1224064660,95 612032330,475 Residual 23 1509520,05038 65631,30654 Uncorrected Total 25 1225574181,00

(Corrected Total) 24 465149435,360

R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = ,99675 Asymptotic 95 % Asymptotic Confidence Interval Parameter Estimate Std. Error Lower Upper M_0 1004,8233586 37,010533725 928,26123638 1081,3854809 K ,049954864 ,000775565 ,048350485 ,051559244 Asymptotic Correlation Matrix of the Parameter Estimates M_0 K

M_0 1,0000 -,9800

(3)

10'10^{0.05 h}

&1@t_z Y 1'0.05 h^&¹@t_z Y t_z' 1

0.05h'20 h m'm₀@e^k^@t

Mm

Mm₀'e^k^@t Mm

Mk 't@m₀@e^k^@t M²m

Mm₀Mk' M²m

MkMm₀'t@e^k^@t

K

100 80

60 40

20 0

700 600 500 400 300

200 100

SPSS gibt die Iterationsschritte bei der Parameterveränderung inklusive der entsprechen- den Abweichungsquadratsummen des Fehlers aus. Nach 13 Iterationen stoppt der Algorithmus, da sich die Summe der Abweichungsquadrate nicht mehr wesentlich ändert.

Das Bestimmtheitsmaß beträgt formal 99.675%. Man beachte, daß ein Test des Be- stimmtheitsmaß bei der nichtlinearen Regression keine statistische Bedeutung hat.

Die Parameter unterscheiden sich aufgrund des anderen Minimierungsalgorithmus geringfügig von denen in c). Praktisch sind die beiden Modelle jedoch identisch.

e)

f) Modell:

Partielle Ableitungen: ,

g) Gemischt-partielle Ableitungen:

2. a) GET

FILE='H:\STUDENT\MINITAB\KART_K.SAV'.

EXECUTE . GRAPH

/SCATTERPLOT(BIVAR)=k WITH e /MISSING=LISTWISE .

Graph

(4)

E'(590&182)@1&e^&^0.043@K %182'408@1&e^&^0.043@K %182

ME

ME₀'e^&^c@K ME

ME_max'1&e^&^c^@K ME

Mc'K@(E₀&E_max)@e^&^c^@K dE

dK

'c@E_max&E₀ @e^&^c^@K'0.043@408@e^&^0.043@K'17.5@e^&^0.043@K

dE@p_E'dK@p_K Y dE dK

'17.5@e^&^0.043@K'0.05' 1

20 'p_K

p_E Y K'136.2 [kg/ha]

b) All the derivatives will be calculated numerically.

Iteration Residual SS E_0 E_MAX C 1 160250,6751 150,000000 500,000000 ,100000000 1.1 3936239,625 189,577357 568,442272 ,001042788 1.2 131052,8426 152,223357 508,539686 ,092677983 2 131052,8426 152,223357 508,539686 ,092677983 2.1 84006,94757 156,681797 524,820544 ,077635687 3 84006,94757 156,681797 524,820544 ,077635687 3.1 33765,64826 169,159721 555,507521 ,052077147 4 33765,64826 169,159721 555,507521 ,052077147 4.1 17934,92739 183,087621 587,982145 ,041822805 5 17934,92739 183,087621 587,982145 ,041822805 5.1 17225,81322 182,196849 589,566402 ,043205790 6 17225,81322 182,196849 589,566402 ,043205790 6.1 17225,60101 182,222143 589,683912 ,043187634 7 17225,60101 182,222143 589,683912 ,043187634 7.1 17225,60100 182,221568 589,683330 ,043187961 Nonlinear Regression Summary Statistics, Dependent Variable E Source DF Sum of Squares Mean Square

R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = ,97477 Asymptotic 95 % Asymptotic Confidence Interval Parameter Estimate Std. Error Lower Upper E_0 182,22156772 9,564126958 162,90642148 201,53671396 E_MAX 589,68333001 6,510596856 576,53491291 602,83174710 C ,043187961 ,002743999 ,037646343 ,048729579

Maximalertrag ist 590 dt/ha, Ertrag ohne K-Düngung ist 182 dt/ha (Nullertrag), die Konstante im Exponenten ist ein Formfaktor der Funktion, 408 ist die Ertragsdifferenz zwischen Maximal- und Nullertrag.

c) , ,

d)

e)

Der maximale Gewinn wird also bei einer Kalidüngung von 136 kg/ha und einem Ertrag von 589 dt/ha erzielt. Das Gewinnoptimum ist bei diesen Preisen praktisch beim Maximal-

(5)

P

100 80

60 40

20 0

110 100 90 80 70 60 50 40 30

3. a) GET

FILE='H:\STUDENT\MINITAB\MAIS_P.SAV'.

EXECUTE . GRAPH

/SCATTERPLOT(BIVAR)=p WITH e /MISSING=LISTWISE .

Graph

b) MODEL PROGRAM E_MAX=90 E_V=10 A=10 C=0.05 . COMPUTE PRED_ = (e_max-e_v)/(1+a*exp(-c*p))+e_v.

NLR e

/PRED PRED_

/CRITERIA SSCONVERGENCE 1E-8 PCON 1E-8 . Non-linear Regression

All the derivatives will be calculated numerically.

Iteration Residual SS E_MAX E_V A C 1 27279,634 90,00000 10,00000 10,00000 ,0500000 1.1 2422,4801 93,34104 37,99582 13,59921 ,0725224 2 2422,4801 93,34104 37,99582 13,59921 ,0725224 2.1 1285,7307 99,63921 41,14811 26,61097 ,0933422 3 1285,7307 99,63921 41,14811 26,61097 ,0933422 3.1 1068,5017 99,96526 39,48731 28,67689 ,0890943 4 1068,5017 99,96526 39,48731 28,67689 ,0890943 4.1 1067,8336 100,0377 39,54824 29,50128 ,0899266 5 1067,8336 100,0377 39,54824 29,50128 ,0899266 5.1 1067,8329 100,0411 39,53390 29,42391 ,0898643 6 1067,8329 100,0411 39,53390 29,42391 ,0898643 6.1 1067,8329 100,0408 39,53518 29,43289 ,0898709

(6)

E' E_max&E_v

1%a@e^&^c@P

%E_v' 100&40

1%29@e^&^0.09@P

%40' 60

1%29@e^&^0.09@P

%40

E₀'60 dt/ha 1%29

%40 dt/ha'42 dt/ha

dE dP

'E_max&E_v @ a@c@e^&c^@P

1%a@e^&^{c@P 2}

'60@ 2.61@e&0.09@P

1%29@e^&^0.09^{@P 2}

' 157@e^&0.09^@P

1%29@e^&^{0.09@P 2}

dE

dP(100)' 157@e^&^0.09^@100

1%29@e^&^0.09^{@100 2}

'0.019 [dt/kg]

Nonlinear Regression Summary Statistics, Dependent Variable E Source DF Sum of Squares Mean Square

R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = ,95446 Asymptotic 95 % Asymptotic Confidence Interval Parameter Estimate Std. Error Lower Upper E_MAX 100,04080284 1,662039718 96,681695269 103,39991041 E_V 39,535177610 3,072319574 33,325788128 45,744567092 A 29,432885612 18,237156543 -7,425782667 66,291553891 C ,089870879 ,014300905 ,060967671 ,118774086 Asymptotic Correlation Matrix of the Parameter Estimates E_MAX E_V A C

E_MAX 1,0000 -,3473 -,4765 -,6061 E_V -,3473 1,0000 ,8387 ,7459 A -,4765 ,8387 1,0000 ,9654 C -,6061 ,7459 ,9654 1,0000

Maximalertrag ist 100 dt/ha, Vertikalverschiebung ist 40 dt/ha, a und c sind Formpara-

meter der Funktion, Ertrag ohne P-Düngung ist .

c)

d)

Die Produktionsmenge müßte eingeschränkt werden, denn der Ertragszuwachs pro kg eingesetzten Phosphors beträgt nur etwa 0.02 dt/kg, das sind monetär 1 DM/kg.

Phosphor kostet aber 2 DM/kg, also das doppelte.