Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis L¨osungen von Blatt XII vom 11. Januar 2013
Aufgabe XII.1(5 Punkte)
Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum der Funktion f:R2→R, f(x, y) = 6−5x−4y unter der Nebenbedingungx2−y2= 9.
Aufgabe XII.2(5 Punkte)
Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum der Funktionf:R2→R, f(x, y) =x2−y2, unter der Nebenbedingungx2+y2= 2x.
Aufgabe XII.3(5 Punkte)
Gegeben sind die Kugeloberfl¨achex2+y2+z2= 4 sowie der PunktP= (3,1,−1)∈R3.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode denjenigen Punkt auf der Kugeloberfl¨ache, der vom PunktP den maximalen Abstand hat. Wie groß ist dieser Abstand?
Hinweis:Verwenden Sie als Zielfunktionf(x, y, z) = (x−3)2+ (y−1)2+ (z+ 1)2.
b) Best¨atigen Sie Ihr Ergebnis aus Teil a) anhand geometrischer ¨Uberlegungen. Betrachten Sie dazu die Gerade durchPund den Mittelpunkt der Kugel. Einer der Schnittpunkte mit der Kugelober- fl¨ache ist der gesuchte Punkt.
Aufgabe XII.4(5 Punkte)
Zua, b, c >0 ist das EllipsoidE=n
(x, y, z)∈R3| xa22 +yb22 +zc22 = 1o
gegeben.
Finden Sie denjenigen achsenparallelen QuaderQxyz =−x 2 ,x2
×−y 2 ,y2
×−z 2 ,z2
⊂ R3, der unter allen solchen Quadern, die dem EllipsoidE einbeschrieben sind, das maximale Volumen hat. Welches Volumen hat dieser Quader?
L¨osungsvorschl¨age Aufgabe XII.1
Setze g(x, y) =x2−y2−9.
Schritt 1: Aus der Bedingung ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) und der Nebenbedingung ergibt sich das Gleichungssytem
−5 = 2λx ⇐⇒ λ6= 0, x= −5
2λ, (1.1)
−4 =−2λy ⇐⇒ λ6= 0, y= 4
2λ, (1.2)
x2−y2= 9. (1.3)
Wir setzen (1.1) und (1.2) in (1.3) ein und erhalten 9
4λ2 = 9 ⇐⇒ 4λ2 = 1 ⇐⇒ λ=±1 2.
Folglich erf¨ullen die beiden PunkteP1 = (−5,4) und P2 = (5,−4) die Glei- chung∇f(x, y) =λ∇g(x, y).
Schritt 2: Wegen ∇g(x, y) = (2x,−2y) gibt es keine Punkte mit ∇g(x, y) = 0 und g(x, y) = 0.
Ubungsblatt XII¨ Seite 2
Schritt 3: Im Punkt P1 = (−5,4) besitzt die Funktion f den Wert 15 und im Punkt P2= (5,−4) den Wert −3. Insgesamt haben wir also im PunktP2 = (5,−4) das Minimum mit Wert −3 und im Punkt P1 = (−5,4) das Maximum mit Wert 15.
Aufgabe XII.2
Setze g(x, y) =x2+y2−2x.
Schritt 1: Aus der Bedingung ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) und der Nebenbedingung ergibt sich das Gleichungssytem
2x= 2λx−2λ ⇐⇒ λ6= 1, x= λ
λ−1 (2.1)
−2y= 2λy, ⇐⇒ y= 0 oder λ=−1 (2.2)
x2+y2−2x= 0. (2.3)
Fallsy = 0, so folgt aus (2.3)x= 0 oderx= 2. Fallsλ=−1, dann gilt wegen (2.1)x= 12 und f¨ur diesen Fall ergibt sich aus (2.3) y2 = 34, also y=±12√
3.
Die vier Stellen P1 = (0,0), P2 = (2,0), P3 = 12,12√ 3
, P4 = 12,−12√ 3 erf¨ullen also ∇f(x, y) =λ∇g(x, y).
Schritt 2: Es gilt∇g(x, y) = (2x−2,2y) = 0 ⇐⇒ x= 1, y= 0. Daher existieren keine Stellen, die g(x, y) = 0 und∇g(x, y) = 0 erf¨ullen.
Schritt 3: Es gilt
f(0,0) = 0, f(2,0) = 4, f
1 2,±12√
3
=−12. Das Minimum der Funktion ist also −12 und das Maximum 4.
Aufgabe XII.3
a) Setze g(x, y, z) =x2+y2+z2−4 undf wie im Hinweis.
Schritt 1: Aus der Bedingung ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) und der Nebenbedingung ergibt sich das Gleichungssytem
2(x−3) = 2λx ⇐⇒ λ6= 1, x= 3
1−λ, (3.1) 2(y−1) = 2λy ⇐⇒ λ6= 1, y= 1
1−λ, (3.2) 2(z+ 1) = 2λz ⇐⇒ λ6= 1, z= −1
1−λ, , (3.3)
x2+y2+z2 = 4. (3.4)
Durch Einsetzen von (3.1) bis (3.3) in (3.4) ergibt sich 11
(1−λ)2 = 4 ⇐⇒ 1−λ=±1 2
√ 11.
Folglich erf¨ullen die beiden Punkte P1 = √6
11,√2
11,√−2
11
und P2 = √−6
11,√−2
11,√2
11
die Gleichung ∇f(x, y) =λ∇g(x, y).
Ubungsblatt XII¨ Seite 3
Schritt 2: Es gibt keine Punkte mit ∇g(x, y, z) = 0 undg(x, y, z) = 0.
Schritt 3: Es gilt
f(P1) = (6−3√
11)2+ (2−√
11)2+ (−2 +√ 11)2
11 = 165−44√
11 11
= 15−4√
11 = (2−√ 11)2, f(P2) = (−6−3√
11)2+ (−2−√
11)2+ (2 +√ 11)2 11
= 165 + 44√ 11
11 = 15 + 4√
11 = (2 +√ 11)2.
Also ist der Punkt P2 der Punkt mit maximalem Abstand 2 +√ 11.
b) P hat den Abstand√
11 vom Ursprung. Außerdem liegt der Mittelpunkt der Kugel mit Radius 2 im Ursprung. Der maximale Abstand eines Punktes auf der Kugelo- berfl¨ache zum PunktP betr¨agt also 2 +√
11.
Aufgabe XII.4
Das Volumen des in der Aufgabe bezeichneten Quaders betr¨agt f(x, y, z) = xyz. Wir maximieren f unter der Nebenbedingung, dass die Ecken des Quaders innerhalb des angegebenen Ellipsoids liegen. Als Nebenbedingung muss also
g(x, y, z) = x2 4a2 + y2
4b2 + z2
4c2 −1 = 0 gelten.
Schritt 1: Aus der Bedingung ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) und der Nebenbedingung ergibt sich das folgende Gleichungssytem. Zu beachten ist, dass nur x, y, z > 0 in diesem Kontext sinnvoll ist.
yz= λx
2a2 und daher xyz= λx2
2a2, (4.1) xz= λy
2b2 und daher xyz= λy2
2b2, (4.2) xy= λz
2c2 und daher xyz= λz2
2c2, (4.3) x2
4a2 + y2 4b2 + z2
4c2 = 1 ⇐⇒ x2 a2 +y2
b2 +z2
c2 = 4. (4.4) Addition der Gleichungen (4.1)-(4.3) ergibt
3xyz= λ 2
x2 a2 +y2
b2 +z2 c2
.
Wegen (4.4) ist der Ausdruck in der Klammer gleich 4 und daher xyz= 2
3λ.
Insbesondere ist nur λ > 0 interessant in dieser Aufgabe. Diese Identit¨at setzen wir nun in (4.1) ein:
2
3λ= λx2
2a2 und daher x= 2a
√3. Genauso bestimmen wiry= √2b
3 undz= √2c
3.
Ubungsblatt XII¨ Seite 4
Schritt 2: Es gibt keine Punkte mit g(x, y, z) = 0 und ∇g(x, y, z) = 0.
Schritt 3: Dass es sich bei dem mit Hilfe der Lagrange-Methode gefundenen Quader tats¨achlich um den Quader maximalen Volumens handelt, sieht man ein, indem man mit einem beliebigen anderen Quader, der die Nebenbedingung ebenfalls erf¨ullt, vergleicht. Wir w¨ahlen hier
Q0 = −a
√ 6, a
√ 6
× −b
√ 6, b
√ 6
×
"
−c√
√ 2 3 ,c√
√2 3
# ,
also x0 = √2a
6,y0 = √2b
6 und z0 = 2c
√2
√
3 . Es gilt g(x0, y0, z0) = 1
6 +1 6 +2
3 = 1 und f(x0, y0, z0) =
√ 2 6
8abc
√3
.
Der mit der Lagrange-Methode gefundene QuaderQ=h
−a√ 3,√a
3
i×h
−b√ 3,√b
3
i×
h−c√ 3,√c
3
i
hat aber ein Volumen von 8abc
3√ 3. Wegen
√ 2
6 = 1
3√
2 < 13 gilt also f(x0, y0, z0) < f(x, y, z) und folglich ist der QuaderQ derjenige Quader mit maximalem Volumen.
