A - 13 Faktorisierung und Nullstellen

Mathematik f¨ur Informatiker I Der Ring der Polynome

Folgerung aus Definition A.113: Teilbarkeit in

[x ]

b(x)|a(x)⇐⇒r(x) = 0

so dass wir inR[x] einen konstruktiven Teilbarkeitstest haben.

(ii)Wie im Ring der ganzen Zahlen folgt die Existenz des gr¨ossten gemeinsamen Teilersc(x) =GGT(a(x),b(x)), welcher allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einer Konstanten eindeutig ist.

O.B.d.A. k¨onnen wir verlangen, dass der h¨ochste Koeffizient cdeg(c(x))vonc(x) zu 1Rnormalisiert wird.

(iii)Die Berechnung desGGT(a(x),b(x)) erfolgt wiederum durch den Euklidischen Algorithmus.

(iv)Fallsdeg(GGT(a(x),b(x))) = 1 und somit nach Normalisierung GGT(a(x),b(x)) = 1, so heissena(x) undb(x)relativ prim zueinanderbzwteilerfremd.

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A - 13 Faktorisierung und Nullstellen

Korollar A.117

(i)Ein K¨orperelement x0∈ Rist genau dann eineWurzeleines Polynoms a(x)∈ R[x]mit n=deg(a(x))>0, wenn es ein q(x)∈ R[x]gibt, so dass gilt

a(x) = (x−x0)∗q(x).

(ii)Man nennt(x−x0)einenLinearfaktorvon a(x)und es muss gelten deg(q(x)) =n−1

(iii)Die Koeffizienten qides Polynomes q(x)ergeben sich aus qn−1= angem¨ass dem Hornerschema als

qi−1=ai+qi∗x0 f¨ur i=n−1. . .1

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Folgerung

Durch wiederholtes Abspalten von Linearfaktoren erh¨alt man eine Darstellung der Form

a(x) = (x−x1)(x−x2)· · ·(x−xk)q(x),

wobeiq(x) keine weiteren Nullstellen besitzt oder identisch gleich null ist.

Im letzteren Fall ist aucha(x) identisch gleich null.

Es kann durchaus vorkommen, dass derselbe Linearfaktor wiederholt abgespalten wird, man spricht dann von einermehrfachen Nullstelle.

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Folgerung

n=deg(a(x)) =k+deg(q(x))≥k,

kann ein Polynom vom Gradnalso h¨ochstensnNullstellen haben oder es verschwindet identisch. Damit ist auch Satz A.105(iii) bewiesen, da dort durch die Interpolationsbedingungn+ 1 unterschiedliche Nullstellen verlangt werden.

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Folgerung

Ein Polynoma(x) kann also nur irreduzibel sein, wenndeg(a(x)) = 1 gilt. Damit ista(x) also selbst ein Linearfaktor oder besitzt keine Nullstellen im Koeffizientenk¨orper.

Falls ein Polynom vom Graddeg(a(x)) =n>0 auchnNullstellen xi∈ R f¨ur i= 1. . .n

besitzt, so gibt es f¨ura(x) eine eindeutige Faktorisierung a(x) =cn(x−x1)(x−x2)· · ·(x−xn)

Auch in dieser Form kann es mit einem Aufwand vonnMultiplikatonen ausgewertet werden.

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Beispiel A.118

x³−1 hat genau eine Nullstellexo= 1 inR=R, da nach Abspaltung des Linearfaktors (x−1) das Polynom

x²+x+ 1 = (x+¹₂)²+³₄≥³4

¨

ubrig bleibt. W¨are es reduzibel, m¨usste es das Produkt von zwei linearen Faktoren der Form (x−x1) und (x−x2) mitx1,x2∈Rsein und damit f¨ur x∈ {x1,x2} ⊂Rverschwinden, was der obigen Ungleichung widerspricht.

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Bemerkung:

Es l¨asst sich zeigen, dass ein nichtkonstantens Polynomq(x)∈R[x], das keine Nullstellen besitzt, sich immer als Produkt quadratischer Polynome qj(x) mitdeg(qj(x)) = 2 darstellen l¨asst.

Mit anderen Worten:

p(x)ist genau dann irreduzibel inR[x], wenn es ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle ist.

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Bemerkung:

Erweitert manRzu den komplexen ZahlenC, so haben auch diese quadratische Polynome und man erh¨alt immer eine vollst¨andige Zerlegung

a(x) =an(x−x1)(x−x2)· · ·(x−xⁿ),

wobein=deg(a(x)) ist. Dabei m¨ussen die Nullstellenxj∈Cnicht alle verschieden sein.

Diese Aussage nennt manFundamentalsatz der Algebra.

Komplexe Wurzeln spielen eine wesentliche Rolle als Eigenwerte von nicht symmetrischen Matrizen. Diese treten bei der Analyse dynamischer (d.h.

zeitabh¨angiger) Systeme auf.

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A - 14 Die komplexen Zahlen

Definition A.119 (Komplexe Zahlen)

P(x) =x²+ 1

(und damit die L¨osungen der Gleichungx²+ 1 = 0) werden miti und−ibezeichnet, es gilt also

i²=−1.

(ii)Ausdr¨ucke der Formz=x+iymit (x,y)∈R²nennt man komplexe Zahlenmit

Re(z) =x Realteil

Im(z) =y Imagin¨arteil

(iii)Die Menge der komplexen Zahlen wird mitCbezeichnet.

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Definition A.120 (Addition und Multiplikation in

undz2=x2+iy2gilt

z1+z2 = (x1+x2) +i(y1+y2)

z1∗z2 = (x1∗x2−y1∗y2) +i(x1∗y2+x2∗y1)

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Lemma A.121 (K¨orpereigenschaft von

Bez¨uglich der oben definierten Verkn¨upfungen+und* bildetCeinen kommutativen K¨orper mit folgenden Eigenschaften:

(i)0 = 0 +i∗0 Nullelement

(ii)1 = 1 +i∗0 Einselement

(iii)−(x+iy) =−x+i(−y) Inverses bzgl.+

(iv)(x+iy)⁻¹= (x−iy)/(x²+y²), Inverses bzgl.* wobei z⁻¹nur f¨ur z6= 0existiert.

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Lemma A.122 (L¨osung einer quadratischen Gleichung)

P(x) =αx²+βx+γ mit α, β, γ∈R

hat im Falleγα >¹₄β²die komplexen Wurzeln

x0,1=−1 2 β α h

1±ip

4αγ/β²−1i