Technische Universität Hamburg Wintersemester 2018/19 Institut für Mathematik
Prof. Dr. Marko Lindner
Klausur zur Mathematik II (Veranstaltung: Lineare Algebra II) 04.03.2019
Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.
Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFTin die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein.
Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
Stg.: AIW BU BVT ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT Sonstige
Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Module „Analysis II“ und „Lineare Algebra II“ die Gesamtnote für das Fach „Mathematik II“ ergeben.
Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Lehrveranstaltungen „Analysis II“ und
„Lineare Algebra II“ die Gesamtnote für das Modul „Mathematik II“ ergeben.
Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur bewertet wird, wenn das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung bestätigt.
(Unterschrift)
Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben. Es werden insgesamt 20 Punkte vergeben.
Aufgabe Punkte Korrektor 1
2 3 4 5
P =
Seien A :=
2 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 2
und x :=
−1 1 0
−1 1
. Zeigen Sie, dass x ein Eigen-
vektor von A ist, und bestimmen Sie den entsprechenden Eigenwert.
Lösungshinweise 1
Wir rechnenAx aus und prüfen, ob dies ein Vielfaches von x ist:
Ax=
2 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 2
−1 1 0
−1 1
=
−3 3 0
−3 3
= 3x. (1P unkt)
Damit ist xein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ= 3. (1 Punkt)
Aufgabe 2 (5 Punkte) Für p,q∈ P2 definieren wir
hp,qi:=p(0)q(0) + Z 1
0
p0(x)q0(x)dx.
(a) Zeigen Sie, dass h·,·i ein Skalarprodukt auf P2 definiert.
(b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion von m2 definiert durch m2(x) := x2 auf P1 bezüglich dieses Skalarprodukts.
Lösungshinweise 2
(a) Seien p1,p2,p,q∈ P2,α ∈R. Dann gelten hp1+p2,qi= p1+p2
(0)q(0) + Z 1
0
p1+p20
(x)q0(x)dx
= p1(0) +p2(0)
q(0) + Z 1
0
p01(x) +p02(x)
q0(x)dx
=p1(0)q(0) +p2(0)q(0) + Z 1
0
p01(x)q0(x)dx+ Z 1
0
p02(x)q0(x)dx
=hp1,qi+hp2,qi, (0.5P unkte) hαp,qi= αp
(0)q(0) + Z 1
0
αp0
(x)q0(x)dx= αp(0)
q(0) + Z 1
0
αp0(x)
q0(x)dx
=αp(0)q(0) + Z 1
0
αp0(x)q0(x)dx=αhp,qi, (0.5P unkte) hp,qi=p(0)q(0) +
Z 1 0
p0(x)q0(x)dx=q(0)p(0) + Z 1
0
q0(x)p0(x)dx=hq,pi, (1P unkt) hp,pi=p(0)2+
Z 1 0
p0(x)2dx≥0. (0.5P unkte)
Weiterhin gilt
hp,pi=p(0)2+ Z 1
0
p0(x)2dx= 0 genau dann, wenn p(0) = 0undR1
0 p0(x)2dx = 0gelten. Aus der zweiten Bedingung folgt, dass p konstant ist, und aus der ersten damit p= 0. Also ist
hp,pi>0
für p6= 0, und h·,·i somit ein Skalarprodukt auf P2. (0.5 Punkte)
(b) Für die orthogonale Projektion stellen wir fest, dass B := (m0,m1) eine Basis von P1 ist. Für die Gram’sche Matrix rechnen wir
G(B) =
hm0,m0i hm1,m0i hm0,m1i hm1,m1i
= 1 0
0 1
.
G(B) α
β
=
hm2,m0i hm2,m1i
= 0
1
,
also
1 0 0 1
α β
= 0
1
, (1P unkt)
d.h.
α β
= 0
1
. (0.5P unkte) Somit ist (m2)↓P1 = 0m0+ 1m1 =m1. (0.5 Punkte)
Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei `:R3 → P1 definiert durch
`(x) := (x1+x2+x3)m1+ (x1−x2−2x3)m0 für alle x=
x1 x2 x3
∈R3.
(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix `C←B von ` bezüglich der Basen B :=
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
und C := m1,m0 .
(b) Berechnen Sie die Transformationsmatrix TC←C0 mit C aus (a) und C0 := m1+m0,m1−m0).
(c) Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix `C0←B mit B aus (a) undC0 aus (b).
Lösungshinweise 3 (a) Es gelten
`
1 0 0
=m1+m0 =⇒`
1 0 0
C
= 1
1
,
`
0 1 0
=m1−m0 =⇒`
0 1 0
C
= 1
−1
,
`
0 0 1
=m1−2m0 =⇒`
0 0 1
C
= 1
−2
,
Damit ist
`C←B =
1 1 1 1 −1 −2
. (2P unkte)
(b) Wir rechnen
(m1+m0)C = 1
1
, (m0−m0)C = 1
−1
,
und damit
TC←C0 =
1 1 1 −1
. (1P unkt)
(c) Wir rechnen
`C0←B = TC←C0
−1
`C←B =
1 1 1 −1
−1
1 1 1
1 −1 −2
= 1
2 1 1 2 2 −12
1 1 1
1 −1 −2
=
1 0 −12 0 1 32
. (1P unkt)
Berechnen Sie eine Singulärwertzerlegung von
A:=
1 −3 3 −1 0 0
.
Lösungshinweise 4 Wir rechnen
B:=A∗A=
1 3 0
−3 −1 0
1 −3 3 −1 0 0
=
10 −6
−6 10
und bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren von B:
χB(λ) = det(B−λI) = det
10−λ −6
−6 10−λ
= (10−λ)2−36 = 100−20λ+λ2−36 =λ2−20λ+ 64. (1P unkt)
Als Nullstellen und damit Eigenwerte erhalten wir λ1,2 = 10±√
100−64 = 10±√
36 = 10±6, also λ1 = 16, λ2 = 4. Die Singulärwerte von A sind damit s1 =√
λ1 = 4,s2 =√
λ2 = 2, und
Σ =
s1 0
0 s2 0 0
=
4 0 0 2 0 0
. (1P unkt)
Als nächstes rechnen wir normierte Eigenvektoren von B aus. Zum Eigenwert λ1 = 16 lösen wir (B−λ1I)v1 =o, also
−6 −6
−6 −6
v1 =o.
Ein entsprechender Vektor ist v1 = √1
2
1
−1
. Zum Eigenwert λ2 = 4 lösen wir (B− λ2I)v2 =o, also
6 −6
−6 6
v2 =o.
Ein entsprechender Vektor ist v2 = √1
2
1 1
. Damit ist
V= 1
√2
1 1
−1 1
. (1P unkt)
Nun rechnen wir noch die linken Singulärvektoren von A aus:
u1 = 1
s1Av1 = 1
√2
1 1 0
,
u2 = 1
s2Av2 = 1
√2
−1 1 0
,
u3 =u1×u2 =
0 0 1
.
Damit ist
U= 1
√2
1 −1 0
1 1 0
0 0 √
2
. (1.5P unkte)
Insgesamt ergibt sich als Singulärwertzerlegung
A =UΣV∗ = 1
√2
1 −1 0
1 1 0
0 0 √
2
4 0 0 2 0 0
√1 2
1 −1 1 1
. (0.5P unkte)
Seien A:=
1 1 2 1
−1 1 0 1
und b :=
−52
5 2
−52
5 2
.
(a) Ermitteln Sie alle x∈R2 mit
Ax≈b.
(b) Bestimmen Sie minx∈R2kAx−bk.
Lösungshinweise 5
(a) Das Ausgleichsproblem Ax ≈ b lässt sich beispielsweise mit der Normalgleichung A∗Ax=A∗b lösen. Wir rechnen
A∗A=
1 2 −1 0 1 1 1 1
1 1 2 1
−1 1 0 1
= 6 2
2 4
,
A∗b=
1 2 −1 0 1 1 1 1
−52
5 2
−52
5 2
= 5
0
. (1P unkt)
Wir lösen also
6 2 2 4
x=
5 0
. Der Gauß-Algorithmus liefert
6 2 5 2 4 0
6 2 5 0 103 −53
.
Damit ist x2 =−12, und x1 = 1, also x=
1
−12
. (2P unkte)
(b) Die Lösung des Aufgleichsproblems realisiert den norm-minimalen Abstand zwischen Bild(A) und b, also minx∈R2kAx−bk=kAx−bk. Mit
Ax−b=
1 1 2 1
−1 1 0 1
1
−12
−
−52
5 2
−52
5 2
=
3
−1 1
−3
.
Damit ist
x∈minR2
kAx−bk=
3
−1 1
−3
=p
32+ (−1)2+ 12+ (−3)2 =√
20. (1P unkt)
