Institut für Mathematik Prof. Dr. Marko Lindner
Klausur zur Mathematik II (Veranstaltung: Lineare Algebra II) 02.03.2020
Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.
Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFTin die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein.
Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
Stg.: AIW BU BVT ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT Sonstige
Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Lehrveranstaltungen „Analysis II“ und
„Lineare Algebra II“ die Gesamtnote für das Modul „Mathematik II“ ergeben.
Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur bewertet wird, wenn das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung bestätigt.
(Unterschrift)
Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben. Es werden insgesamt 20 Punkte vergeben.
Aufgabe Punkte Korrektor 1
2 3 4 5
P =
Aufgabe 1 (5 Punkte) Sei A :=
2 0 −1
0 2 1
0 −1 2
. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvek-
toren von B:= (A−2I)27. Lösungshinweise 1
Für die Eigenwerte vonA lösen wir0 = det(A−λI) = (2−λ) (2−λ)2+ 1
. Wir erhalten die Eigenwerte: λ1 = 2, λ2 = 2 +i, λ3 = 2−i. (1 Punkt)
Die zugehörigen Eigenräume lauten:
Kern(A−λ1I) =C
1 0 0
, Kern(A−λ2I) =C
−1 1
i
, Kern(A−λ3I) =C
1
−1 i
Die zugehörigen Eigenvektoren sind die Eigenräume ohne den Nullvektor. (1.5 Punkte) Die MatrixBist durch das Polynomp(x) = (x−2)27mitB =p(A)gegeben. (0.5 Punkte) Damit sind die Eigenwerte von B: p(2) = 0, p(2 +i) = i27 = −i, p(2−i) = (−i)27 = i.
(1.5 Punkte)
Die Eigenvektoren bleiben die gleichen. (0.5 Punkte)
Sei k·k2 die euklidische Norm auf R2. Für A∈R2×2 definieren wir kAk:=
A 1
0
2
+
A 0
1
2
. (a) Berechnen Sie
−3 12 4 −5
.
(b) Zeigen Sie, dass k·k: R2×2 →R eine Norm auf R2×2 ist.
Lösungshinweise 2
(a) Es gilt
−3 12 4 −5
=
−3 12 4 −5
1 0
2
+
−3 12 4 −5
0 1
2
=
−3 4
2
+
12
−5
2
= 5 + 13 = 18. (1P unkt) (b) Je Norm-Eigenschaft (1 Punkt).
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Sei `:P2 →R2 gegeben durch `(p) :=
p(0) +p0(1) p0(0) +p00(1)
.
(a) Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix von ` bezüglich der Basen B := (m0,m1,m2) in P2 und C :=
1 0
,
0 1
inR2.
(b) Seien B0 := (m0 +m1,m0 −m1,m2) und C0 :=
1 1
,
−1 1
. Berechnen Sie die Transformationsmatrizen TB←B0 und TC0←C und bestimmen Sie damit `C0←B0. Lösungshinweise 3
(a) Es gilt
`(m0) = 1
0
= 1 1
0
+ 0 0
1
,
`(m1) = 1
1
= 1 1
0
+ 1 0
1
,
`(m2) = 2
2
= 2 1
0
+ 2 0
1
. Damit
`C←B =
1 1 2 0 1 2
. (2 Punkte)
(b) Es gilt
TB←B0 =
1 1 0 1 −1 0 0 0 1
(1P unkt),
sowie
TC0←C = 1
2 1 2
−12 12
(1P unkt).
Damit ist
`C0←B0 =TC0←C`C←BTB←B0 = 3
2 −12 2
−12 −12 0
(1P unkt).
Sei A :=
−2 3 2 0
−2 3 1 −5 4 −7 −1 11
. Berechnen Sie eine LR-Zerlegung von A mit Zeilenper- mutationen, d. h. bestimmen Sie Matrizen P, L, R mit entsprechenden Eigenschaften derart, dass PA=LR gilt.
Lösungshinweise 4
Gauß-Schritt (1 Punkt), Permutation (1 Punkt), Rausschreiben von
P=
1 0 0 0 0 1 0 1 0
, L=
1 0 0
−2 1 0 1 0 1
, R=
−2 3 2 0 0 −1 3 11
0 0 −1 −5
(1P unkt).
Aufgabe 5 (3 Punkte)
Für α, β ∈ R sei f: R\ {0} → R, f(x) := αx1 +β. Bestimmen Sie α und β so, dass in der angegebenen Wertetabelle alle y und das jeweilige f(x) im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate bestmöglich zueinander passen.
x −2 −1 1 2 y 2 −4 0 4 Lösungshinweise 5
Lineares Ausgleichsproblem:
−12 1
−1 1 1 1
1
2 1
α
β
≈
2
−4 0 4
(1P unkt).
Normalengleichung:
5
2 0
0 4 α β
= 5
2
(1.5P unkte).
Damitα = 2, β = 12. (0.5 Punkte)
