Institut f¨ur Mathematik Prof. Dr. Marko Lindner
Sommersemester 2020
Klausur zur Mathematik II (Veranstaltung: Lineare Algebra II) 03.09.2020
Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.
Tragen Sie bitte zun¨achst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils daf¨ur vorgesehenen Felder ein.
Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
Stg.: AIW BU BVT ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT Sonstige
Grunds¨atzlich gilt f¨ur alle Studierenden, dass die Lehrveranstaltungen
”Analysis II“ und
”Lineare Algebra II“ die Gesamtnote f¨ur das Fach
”Mathematik II“ ergeben.
Ich bin dar¨uber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Pr¨ufungsleistung nur bewertet wird, wenn das Zentrale Pr¨ufungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Pr¨ufung best¨atigt.
(Unterschrift)
Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben. Es werden insgesamt 20 Punkte vergeben.
Aufgabe Punkte Korrektor 1
2 3 4 5
P =
Aufgabe 1:(5 Punkte) Es sei A:=
0 −2 2
2 5 −4
2 4 −3
.
(a) Zeigen Sie, dass λ= 1 ein Eigenwert vonAmit geometrischer Vielfachheit 2 ist und bestimmen Sie eine Basis f¨ur den zugeh¨origen Eigenraum.
(b) Zeigen Sie, dass v :=
−1 2 2
ein Eigenvektor von A ist und bestimmen Sie den zugeh¨origen Eigenwert.
(c) Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist und finden Sie eine invertierbare Matrix X ∈R3×3 und eine Diagonalmatrix D ∈R3×3 mit A=XDX−1.
(d) Finden Sie eine (3×3)-Matrix B mit B2 =A.
L¨osungshinweis: (a) (2 Punkte)
Kern(A−1I) := Kern
−1 −2 2
2 4 −4
2 4 −4
= Kern
−1 −2 2
0 0 0
0 0 0
= Span
2
−1 0
,
2 0 1
Geometrische Vielfachheit des Eigenwertes ist demnach 2 und eine Basis des Eigenraumes ist
2
−1 0
,
2 0 1
. (b) (1 Punkt)
Av=
0 −2 2
2 5 −4
2 4 −3
−1 2 2
=
0 0 0
= 0·v ⇒ λ3 = 0 Der zugeh¨orige Eigenwert ist λ3 = 0.
(c) (1 Punkt) Die geometrische Vielfachheiten addiert ergeben 3, also ist A diagonali- sierbar.
D :=
1 0 0 0 1 0 0 0 0
, X:=
2 2 −1
−1 0 2
0 1 2
(d) (1 Punkt) Da A = XDX−1, k¨onnen wir B ¨uber B = XDXe −1 w¨ahlen, wobei hier (D)e 2 =D gelten muss. Das heißt:
De :=
√1 0 0
0 √
1 0
0 0 √
0
=D. AlsoB=XDX−1 =A.
Es sei V ein K-Vektorraum, ausgestattet mit einem Skalarprodukt h·,·i. Weiterhin ist (b1, . . . ,bn) als eine Orthonormalbasis von V gegeben.
(a) F¨ur den Fall n = 8 seien zwei Vektoren x,y ∈ V durch x:= 3b1 −2b6−2b7 und y:= 2b1+b5−b7 definiert. Berechnen Sie hx,yi.
(b) Zeigen Sie, dass f¨ur alle u,v∈V gilt:
hu,vi=
n
X
j=1
hu,bjihbj,vi.
L¨osungshinweis:
(a) (2 Punkte)
hx,yi=h3b1−2b6−2b7,2b1+b5−b7i=h3b1,2b1i+h−2b7,−b7i= 6 + 2 = 8 (b) (2 Punkte) Da (b1, . . . ,bn) eine Basis ist, gibt es Koeffizienten αi mit
u=α1b1+· · ·αnbn
Und da (b1, . . . ,bn) auch ONB ist, gilt αi = hu,bii. Demnach gilt nach Linearit¨at des Skalarprodukts
hu,vi=
n
X
i=1
αihbi,vi=
n
X
j=1
hu,bjihbj,vi.
Aufgabe 3:(4 Punkte)
Sei F der R-Vektorraum der reellwertigen Funktionen f : R → R. Wir betrachten den UnterraumU := Span(sin,cos,exp), der von den zwei trigonometrischen Funktionensin, cos und der Exponentialfunktionexp aufgespannt wird. Nun sei eine lineare Abbildung
`: U →U gegeben, die bez¨uglich der Basis B := sin,cos,exp
die Darstellungsmatrix
`B←B :=
2 3 0 1 2 4 0 1 0
hat. Weiterhin ist die BasisC := exp,−sin+cos+exp,sin+cos+exp
vonU gegeben.
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix`C←C von ` bez¨uglich der Basis C. L¨osungshinweis:
• Zur Ermittlung dieser Transformationsmatrix stellen wir die Basisvektoren von C bez¨uglich der Basis B dar. Es gelten
exp = 0·sin +0·cos +1·exp =⇒(exp)B =
0 0 1
,
−sin + cos + exp =−1·sin +1·cos +1·exp =⇒(−sin + cos + exp)B =
−1 1 1
,
sin + cos + exp = 1·sin +1·cos +1·exp =⇒(sin + cos + exp)B =
1 1 1
.
Damit gilt
TB←C =
0 −1 1
0 1 1
1 1 1
. (1 Punkt)
• Es gilt
`C←C = TC←B
| {z }
=TB←C−1
`B←BTB←C.
Wir rechnen die inverse Matrix zun¨achst aus:
0 −1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0
0 −1 1 1 0 0
1 0 0 0 −1 1
0 1 1 0 1 0
0 0 2 1 1 0
1 0 0 0 −1 1
0 1 0 −12 12 0 0 0 1 12 12 0
(2 Punkte)
`C←C =
0 −1 1
−12 12 0
1 2
1
2 0
2 3 0 1 2 4 0 1 0
0 −1 1
0 1 1
1 1 1
=
−4 −4 −6
2 2 1
2 3 6
. (1 Punkt)
Aufgabe 4:(4 Punkte)
Es sei A eine (6×6)-Matrix mit dem charakteristischen Polynom χA(λ) = (7−λ)4(8−λ)2
und alle Eigenwerte vonA haben die geometrische Vielfachheit 2.
(a) Ist die Jordan-Normalform J der Matrix A durch die gegebenen Informationen eindeutig bestimmt? Begr¨unden Sie dies und geben Sie ein m¨ogliches J an.
(b) Ist die Matrix A ¨ahnlich zur Matrix
B:=
7 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 0 0 0 7 1 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 7
und wie begr¨unden Sie dies? Sind die Matrizen A und B ¨aquivalent?
L¨osungshinweis:
(a): Es gibt zwei Jordanbl¨ocke mit der Gr¨oße 2 und 4 (algebraische Vielfachheit), wobei beide jeweils zwei Jordank¨astchen enthalten, da die geometrische Vielfachheit als 2 gege- ben ist. Bei dem 4×4-Jordanblock ist damit die Gr¨oße der K¨astchen noch nicht eindeutig festgelegt. (1 Punkt)
Eine M¨oglichkeit f¨urJ ist:
J=
7 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 8
oderJ =
7 1 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 8
. (1 Punkt)
(b): A und B sind nicht ¨ahnlich, da die Eigenwerte bei einer Dreiecksmatrix auf der Diagonalen stehen und ¨ahnliche Matrizen gleiche Eigenwerte haben. B hat aber 8 nicht als Eigenwert. (1 Punkt).
A und B sind ¨aquivalent, da beide gleichen Rang haben, n¨amlich vollen Rang. Keine Matrix hat 0 als Eigenwert. (1 Punkt).
Es sind die folgenden vier Datenpunkte gegeben:
x y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1 1 2 3 4 5
Bestimmen Sie α, β, γ ∈R so, dassf: R→R, gegeben durch f(x) := α+βx+γcos π4x
,
die Fehlerquadratsumme zu den Datenpunkten minimiert, indem Sie das zugeh¨orige li- neare Ausgleichsproblem l¨osen.
L¨osungshinweis:
Wir stellen die entsprechenden Daten f¨ur das lineare Ausgleichsproblem auf. Es gelten
A=
1 −4 −1 1 −2 0
1 2 0
1 4 −1
, b=
1 0 0 3
. (1 Punkt)
Damit l¨osen wir
A
α β γ
≈b.
Die Normalengleichung dazu lautet A∗A
α β γ
=A∗b, also
4 0 −2
0 40 0
−2 0 2
α β γ
=
4 8
−4
. (1 Punkt)
Dieses Gleichungssystem l¨asst sich leicht l¨osen, die L¨osung ist gegeben durch
α β γ
=
0
1 5
−2
. (1 Punkt)
