Technische Universit¨at Hamburg Institut f¨ur Mathematik
Prof. Dr. Marko Lindner
Sommersemester 2017
Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 01.09.2017
Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.
Tragen Sie bitte zun¨achst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils daf¨ur vorgesehenen Felder ein.
Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
Stg.: AIW BU ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT VTBIO Sch.
Grunds¨atzlich gilt f¨ur alle Studierenden, dass die Module
”Analysis I“ und
”Lineare Al- gebra I“ die Gesamtnote f¨ur das Fach
”Mathematik I“ ergeben.
Ich bin dar¨uber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Pr¨ufungsleistung nur dann als Pr¨ufungsleistung bewertet wird, wenn die Nachpr¨ufung durch das Zentrale Pr¨ufungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Pr¨ufung ergibt.
(Unterschrift)
Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben. Es werden insgesamt 20 Punkte vergeben.
Aufgabe Punkte Korrektor 1
2 3 4 5
P =
(a) Geben Sie eine Funktion f:R2 →R2 an, die linear und bijektiv ist.
(b) Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt des von den Vektoren −1
2
und 2
1
aufgespann- ten Parallelogramms.
L¨osungshinweis:
(a) Sei A ∈ R2×2 regul¨ar. Dann ist fA: R2 → R2, fA(x) := Ax linear und bijektiv.
(1 Punkt) Es gen¨ugt also, eine regul¨are 2×2-Matrix A anzugeben, beispielsweise A=
1 0 0 1
. (1 Punkt)
(b) Der Fl¨acheninhalt l¨asst sich mittels des Kreuzprodukts berechnen. Es gilt
Fl¨ache
−1 2
,
2 1
=
−1 2 0
×
2 1 0
=
0 0
−5
= 5. (2 Punkte)
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des linearen Gleichungssystems
2 0 2 −4
−2 −2 1 2
1 4 −5 2
x=
16
−3
−18
.
L¨osungshinweis:
Wir f¨uhren den Gauß-Algorithmus aus:
2 0 2 −4 16
−2 −2 1 2 −3 −(−1)G1 1 4 −5 2 −18 −12G1 2 0 2 −4 16
0 −2 3 −2 13
0 4 −6 4 −26 −(−2)G02 2 0 2 −4 16
0 −2 3 −2 13
0 0 0 0 0
(2 Punkte)
Wir lesen ab: Das Gleichungssystem ist l¨osbar, der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2 (2 Pivotelemente), es gibt damit 4−2 = 2 freie Variablen, n¨amlich x3 und x4. Damit erhalten wir
−2x2 + 3x3−2x4 = 13 =⇒x2 =−13 2 + 3
2x3−x4,
2x1 + 2x3−4x4 = 16 =⇒x1 = 8−x3+ 2x4. (2 Punkte)
Die L¨osungsmenge ist damit gegeben durch
L = (
8
−132 0 0
+x3
−1
3 2
1 0
+x4
2
−1 0 1
: x3, x4 ∈R )
. (1 Punkt)
Ermitteln Sie allet ∈R, so dass
1 2 +t
1
,
0 t 1
,
t 1
−1
!
eine Basis von R3 ist.
L¨osungshinweis:
Die Familie aus den drei Vektoren ist eine Basis von R3, falls sie linear unabh¨angig ist.
(1 Punkt)Dies k¨onnen wir mittels der Determinante pr¨ufen (die Determinante muss ver- schieden von Null sein). Wir rechnen
det
1 0 t
2 +t t 1
1 1 −1
=−t+ 0 + (2t+t2)−t2 −1−0 = t−1. (1 Punkt)
Damit schließen wir, dass
1 2 +t
1
,
0 t 1
,
t 1
−1
!
f¨ur t 6= 1 eine Basis von R3 ist.
(1 Punkt)
Aufgabe 4: (4 Punkte) Sei
A:=
1 2 3 4 5 6
0 −1 −2 −3 −4 −5
0 0 1 2 3 4
0 0 1 0 3 0
0 0 0 2 3 0
0 0 0 2 0 4
.
Berechnen Sie det(A). Sind Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix A f¨ur alle rechten Seiten eindeutig l¨osbar?
L¨osungshinweis:
Die Matrix hat Blockdreiecksgestalt. Damit gilt
det
1 2 3 4 5 6
0 −1 −2 −3 −4 −5
0 0 1 2 3 4
0 0 1 0 3 0
0 0 0 2 3 0
0 0 0 2 0 4
= det
1 2 0 −1
det
1 2 3 4 1 0 3 0 0 2 3 0 0 2 0 4
. (1
2 Punkte)
Wir rechnen zun¨achst direkt det
1 2 0 −1
= 1·(−1)−2·0 = −1, (1
2 Punkte)
und nutzen danach Laplace-Entwicklung nach der ersten Spalte und erhalten
det
1 2 3 4 1 0 3 0 0 2 3 0 0 2 0 4
= 1·det
0 3 0 2 3 0 2 0 4
−1·det
2 3 4 2 3 0 2 0 4
= (0 + 0 + 0−0−0−24)−(24 + 0 + 0−24−0−24) = 0. (11
2 Punkte) Insgesamt erhalten wir also
det
1 2 3 4 5 6
0 −1 −2 −3 −4 −5
0 0 1 2 3 4
0 0 1 0 3 0
0 0 0 2 3 0
0 0 0 2 0 4
=−1·0 = 0. (1
2 Punkte)
Damit sind Gleichungssysteme mit Koeffizientenmatrix A entweder nicht l¨osbar, oder es gibt unendlich viele L¨osungen (je nachdem, ob die rechte Seite zum Bildraum von A geh¨ort oder nicht). (1 Punkt)
Ermitteln Sie denjenigen Vektorv∈
−1
−1 1
+Span (
2
−1 2
)
, der zu
3
−2 1
minimalen Abstand besitzt.
L¨osungshinweis:
Seiena:=
−1
−1 1
,r:=
2
−1 2
,x:=
3
−2 1
. Seipdie Projektion vonx−aauf Span r . Dann ist v=a+p. (1 Punkt) Wir rechnen
p= hx−a,ri hr,ri r =
*
4
−1 0
,
2
−1 2
+
*
2
−1 2
,
2
−1 2
+
2
−1 2
= 9 9
2
−1 2
=
2
−1 2
, (2 Punkte)
und
v=a+p=
−1
−1 1
+
2
−1 2
=
1
−2 3
. (1 Punkt)
