Technische Universit¨at Hamburg-Harburg Institut f¨ur Mathematik
Prof. Dr. Wolfgang Mackens
Wintersemester 2012/2013
Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 07.02.2013: L¨ osungshinweise
Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.
Tragen Sie bitte zun¨achst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils daf¨ur vorgesehenen Felder ein.
Diese Eintragungen werden auf Datentr¨ager gespeichert.
Name: M U S T E R S T U D E N T
Vorname: M A X
Matr.-Nr.: 4 2
Studiengang: Mitarbeiter
Grunds¨atzlich gilt f¨ur alle Studierenden, dass die Module
”Analysis I“ und
”Lineare Al- gebra I“ die Gesamtnote f¨ur das Fach
”Mathematik I“ ergeben.
Ich bin dar¨uber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Pr¨ufungsleistung nur dann als Pr¨ufungsleistung bewertet wird, wenn die Nachpr¨ufung durch das Zentrale Pr¨ufungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Pr¨ufung ergibt.
(Unterschrift)
Bearbeiten Sie die angegebenen zwei Teile A und B. In Teil A werden 5 Punkte und in Teil B werden 15 Punkte vergeben.
Teil A
Definition Punkte Korrekteur Teil B
Aufgabe Punkte Korrekteur 1
2 3 4
P =
Teil A: Definitionen
W¨ahlen Sie bis zu f¨unf der folgenden zehn Begriffe aus, und schreiben Sie deren Definitionen in die jeweils daf¨ur vorgesehene Textl¨ucke.
Jede korrekte Definition unter den maximal f¨unf ausgew¨ahlten Definitionen wird mit einem Punkt bewertet.
Schreiben Sie f¨ur mehr als f¨unf Begriffe Definitionen auf, so w¨ahlen wir f¨ur die Bewertung hiervon die ersten f¨unf.
Begriffe:Allquantor; Linke Dreiecksmatrix; Regul¨are Matrix; Normierter Raum; Dyadi- sches Produkt; Metrik; Summennorm; Definitionsbereich; Aussage; Lineare Abh¨angigkeit Allquantor: Der Allquantor ∀ dient der Kurzschreibweise ∀x : A(x) f¨ur
”f¨ur alle x ist A(x) wahr“.
Linke Dreiecksmatrix: Eine MatrixL= (lij)∈R(n,n)heißt linke oder untere Dreiecks- matrix, wenn lij = 0 f¨urj > i.
Regul¨are Matrix: Eine quadratische (n, n)-Matrix heißt regul¨ar, wenn Rang(A) = n ist.
Normierter Raum: Ein Vektorraum mit einer darauf erkl¨arten Norm heißt ein nor- mierter Vektorraum oder kurz ein normierter Raum.
Dyadisches Produkt: Das dyadische Produkt f¨ur x ∈ Rn und y ∈ Rm ist x·yT aus R(n,m).
Metrik: F¨ur eine beliebige Menge M heißt eine Abbildung d:
M ×M → R (u, v) 7→ d(u, v)
eine Metrik auf M, wenn die folgenden drei Bedingungen gelten:
(i) d(u, v) = 0 ⇐⇒ u=v ∀u, v ∈M,
(ii) d(u, v) = d(v, u) ∀u, v ∈M, (Symmetrie)
(iii) d(u, w)6d(u, v) +d(v, w) ∀u, v, w ∈M. (Dreiecksungleichung) Summennorm: Die Summennorm oder 1-Norm auf dem Vektorraum Rn ist gegeben
durch
kxk1 :=
n
X
j=1
|xj|.
Definitionsbereich: Der Definitionsbereich einer Abbildung f : X → Y ist die Menge X.
Aussage: Eine Aussage ist ein schriftliches oder sprachliches Gebilde, das entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.
Lineare Abh¨angigkeit: Vektorenv1, . . . , vreines VektorraumesV heißen linear abh¨an- gig, wenn es λ1, . . . , λr ∈ R gibt, so dass Pr
j=1λjvj = 0 ist und λi 6= 0 ist f¨ur ein i∈ {1, . . . , r}. Anderenfalls heißen sie linear unabh¨angig.
Teil B: Aufgaben
Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben:
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Es bezeichne Π1 den Vektorraum der Polynome vom H¨ochstgrad Eins, Π1 :={p:R→R|p(x) =ax+b ∀x∈R, a, b∈R}
mit der ¨ublichen Addition zweier Funktionen und der ¨ublichen skalaren Multiplikation einer Funktion mit einer reellen Zahl. Es sei die Abbildung s definiert als
s:
Π1×Π1 → R,
(p, q) 7→ p(0)·q(0) +p0(1)·q0(2).
Zeigen oder widerlegen Sie: s ist ein Skalarprodukt auf Π1.
L¨osungshinweis: Da die Polynome den H¨ochstgrad Eins haben, ist die Ableitung kon- stant, also gilt insbesondere (2 Punkte)
p0(1) =p0(2) ∀p∈Π1. (1)
Damit gilt f¨ur alle p, p1, p2, q∈Π1, p(x) =ax+b,a, b∈R und alle λ∈R: s(p, q)Def.=sp(0)·q(0) +p0(1)·q0(2)
(1)= p(0)·q(0) +p0(2)·q0(1) Def.=ss(q, p) (Symmetrie) s(λ·p, q)Def.= (λs ·p)(0)·q(0) + (λ·p)0(1)·q0(2)
Def. skal. Mult., Abl.
= λ·p(0)·q(0) +λ·p0(1)·q0(2)
Def.s
= λ·s(p, q). (Homogenit¨at)
s(p1+p2, q)Def.= (ps 1+p2)(0)·q(0) + (p1+p2)0(1)·q0(2)
Vektoradd., Abl.
= (p1(0) +p2(0))·q(0) + (p01(1) +p02(1))·q0(2)
Distr., Komm.R
= p1(0)·q(0) +p01(1)·q0(2) +p2(0)·q(0) +p02(1)·q0(2)
Def.s
= s(p1, q) +s(p2, q). (Additivit¨at)
s(p, p)Def.=sp(0)·p(0) +p0(1)·p0(2)
(1)= p(0)·p(0) +p0(1)·p0(1)
= (p(0))2+ (p0(1))2 =b2+a2 >0. (Semidefinitheit) Der letzte Ausdruck ist als Summe zweier Quadrate reeller Zahlen genau dann Null, wenn beide quadrierten reellen Zahlen Null sind, alsop(x) =ax+b= 0·x+ 0 = 0∀x∈R, also p das Nullpolynom ist. Damit gilt s(p, p)>0∀p∈Π1\0. (Pro Eigenschaft: 0.5 Punkte.) Alternativ stellt man fest, dass f¨ur alle p∈Π1 gilt
p(x) = ax+b=p0(0)x+p(0) = p0(1)x+p(0), also p=p0(1)·m1 +p(0)·m0, also der Vektor
p(0) p0(1)
= b
a
der Koeffizientenvektor von p zur Monombasis ist, und dass die angegebene Abbildung dann dem Standardskalarprodukt des R2 der Koeffizientenvektoren entspricht.
Aufgabe 2:(1+2 Punkte) Sei v ∈R3 gegeben als
v =
1 2 3
und seiL definiert durch
L:
R3 → R3 x 7→ x×v a) Zeigen Sie: L ist linear.
b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung vonLbzgl. der Standardbasis desR3 im Urbild- und im Bildraum.
L¨osungshinweis: Wir setzen die Rechenregeln des Kreuzproduktes im R3 als bekannt voraus. Dann gilt:
a) Die Abbildung ist linear, da das Kreuzprodukt es ist (1 Punkt), genauer:
L(λ·x)Def.=L(λ·x)×v =λ·(x×v)
Def.L
= λ·L(x) ∀x∈R3 ∀λ∈R, (Homogenit¨at) L(x1+x2)Def.=L(x1+x2)×v =x1×v+x2×v
Def.L
= L(x1) +L(x2) ∀x1, x2 ∈R3. (Additivit¨at) b) Die Matrixdarstellung vonLbzgl. der Standardbasis desR3im Urbild- und im Bildraum
erhalten wir, indem wir die Standardbasis e1, e2, e3 des R3 in L einsetzen (1 Punkt):
L(e1) =e1×v =
1 0 0
×
1 2 3
=
0
−3 2
, (2)
L(e2) =e2×v =
0 1 0
×
1 2 3
=
3 0
−1
, (3)
L(e3) =e3×v =
0 0 1
×
1 2 3
=
−2 1 0
. (4) Diese m¨ussen nach der zweiten Basis entwickelt werden, was sie bereits sind; sie sind ja in der Standardbasis gegeben. Spaltenweise in eine Matrix geschrieben erhalten wir also die Matrixdarstellung M von L (1 Punkt) zu
M =
0 3 −2
−3 0 1
2 −1 0
.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Berechnen Sie die L¨osungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystemes:
1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6
x=
4 5 6 7
.
L¨osungshinweis: Das Gauß’sche Eliminationsverfahren wird verwendet, um die Matrix auf obere Dreiecksgestalt zu bringen, wobei die rechte Seite gleich mittransformiert wird (pro Schritt 1 Punkt):
1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7
1 2 3 4
0 −1 −2 −3 0 −2 −4 −6 0 −3 −6 −9
1 2 3 4
0 −1 −2 −3
0 0 0 0
0 0 0 0
.
Das Gleichungssystem ist also l¨osbar, da b im Bild vonA ist. Dieses ist erkennbar an den Nullen in den Zeilen der transformierten rechten Seite, wo Nullzeilen inAentstanden sind.
Die L¨osungsmenge L hat also die Gestalt L=x0+ Kern(A). Diese k¨onnen wir beschrei- ben mithilfe einer speziellen L¨osung x0 und einer Basis des eindimensionalen Kernes1 (1 Punkt).
Wir berechnen die eindeutige spezielle L¨osung, in der die letzte Komponente gleich Null ist; die beiden anderen Komponenten erf¨ullen
1 2 0 −1
yspeziell = 4
−3
yspeziell = −2
3
,
also ist unsere gesuchte spezielle L¨osungx0 (1 Punkt) gleich x0 :=
−2 3 0
.
Weiter bestimmen wir den L¨osungsraum des homogenen Gleichungssystems durch einen Basisvektor, dessen letzte Komponente wir gleich Eins setzen, die anderen beiden Kom- ponenten werden dann berechnet ¨uber
1 2 0 −1
yhomogen =− 3
−2
= −3
2
yhomogen = 1
−2
.
Der Vektor
y :=
1
−2 1
.
ist also eine Basis des Kernes (1 Punkt).
Damit ist die L¨osungsmenge gegeben durch L:=
x∈R3
x=
−2 3 0
+λ
1
−2 1
, λ ∈R
.
1Die Dimension des Kernes berechnet sich als Anzahl der Spalten minus dem Rang der Matrix, also 3−2 = 1.
Aufgabe 4:(3 Punkte) Erg¨anzen Sie
p1 :
R → R,
x 7→ x2+x−1 und p2 :
R → R,
x 7→ x2−x+ 1
zu einer Basis des Π2. Beweisen Sie dabei auch, dass es sich wirklich um eine Basis handelt.
L¨osungshinweis: Die beiden Polynome sind laut Aufgabenstellung linear unabh¨angig, der Π2 hat die Dimension drei. Also wird noch ein drittes Polynom p3 ∈ Π2 ben¨otigt (1 Punkt), so dass alle drei linear unabh¨angig sind, siehe die nachfolgende Rechnung (1 Punkt). Wir w¨ahlen p3 :=m0 (1 Punkt).
Mit diesen drei Polynomen kann man jetzt alle drei Monome m0, m1, m2 ∈ Π2 wie folgt darstellen:
m0 =p3, m1 = (p1−p2)/2 +p3, m2 = (p1+p2)/2.
Da die drei Monome m0, m1, m2 eine Basis des Π2 darstellen, sind die drei Polynome p1, p2, p3 auch eine Basis des Π2.
Ende der Klausur
