L¨ osungen zur Pr¨ ufung

Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich

D-CHAB, D-BIOL Winter 2009

L¨ osungen zur Pr¨ ufung

1. a) lim

x→0

1−cos(x²) x²

Hospital

= lim

x→0

2xsin(x²)

2x = lim

x→0sin(x²) = 0 b) xcos(x²) = 1

2 d

dxsin(x²)⇒ Z

f dx^{z. B.}= 1

2sin(x²) c) i) z = e^iπ/4(cos(π/2) +isin(π/2))(1−i)³

−1 +i = e^iπ/4e^iπ/2(√

2e^−iπ/4)³

√2e^i3/4π

= 2e^−i3/4π =√

2(−1−i) ii) z³ = 27i−1 +√

3i 1−√

3i =−27i= 27e^−iπ/2

⇒z = 3e^{−i(π6+n2π3 )}, n = 0,1,2 d) x(t)˙ −x(t)(ln(t) + 1) = ln(t) + 1

⇒x(t) = (x(t) + 1)(ln(t) + 1)˙ (⇒Erkennbare L¨osung: x(t)≡ −1)

⇒ Z t

t0

˙ x(τ) x(τ) + 1dτ

| {z } Z x(t)

x(t0)

1 x+ 1dx

= Z t

t0

(ln(τ) + 1)dτ ^Tipp= τ(ln(τ) + 1)|^t_t

0 −

Z t t0

τ1 τdτ

= τln(τ)|^t_t

0

⇒ln

x(t) + 1 x(t₀) + 1

=tln(t)−t₀ln(t₀)

⇒x(t) =−1 + (x(t₀) + 1)e^{tln(t)−t0ln(t0)} =−1 + (x(t₀) + 1)t^t t^t₀⁰ t0 = 2, x(t0) = 3 ⇒x(t) =−1 + 4t^t

2² =−1 +t^t Oder:

i) Homogene (Separation) x_h(t) = ct^t ii) x_p =−1

2. x(t) =˙ F(x(t)), mit F(x) = (x−3) sin(^π₅x)

Gleichgewichte (F(x) = 0): x(t)≡3, x(t)≡5n, n ∈Z Monotonie (sign(F(x))):

x∈(−5,0) : F(x)>0 x∈(0,3) : F(x)<0 x∈(3,5) : F(x)>0

3. a) divF(x, y, z) = 2 + 3 + 1 = 6

⇒ Z

∂K

hF(x, y, z), n(x, y, z)idσ ^Gauss= Z

K

6dvol = 61

3πr²h= 54π

b) G(x, y, z) = (x²−3yz)(1,1,1)^T. Da der Vektor (1,1,1)^T parallel zur Dreiecks- Ebene steht, steht der Normalenvektor der Dreiecksfl¨ache senkrecht auf G und der Fluss ist 0.

4. a)

0 3

0 1

x y

b) Z

G

dvol = Z 1

0

dx

Z −x(x−4) 3x

dy Z

√x

0

dz = Z 1

0

dx

Z −x(x−4) 3x

√xdy

= Z 1

0

(−x²+x)√ xdx=

Z 1 0

[−x^5/2+x^3/2]dx

= [−2

7x^7/2+2

5x^5/2]¹₀ = 4

35 ≈0.11429

5. a)

f(x, y) = 3x³y−9xy+y²

=y(y+ 3x³−9x)

⇒y= 0∨y=−3x³+ 9x Diskussion von y =−3x³+ 9x:

Nullpunkte: x= 0,±√ 3

Extrema: 0 = −9x²+ 9 ⇔x=±1

Maximum bei (x, y) = (1,6), Minimum bei (x, y) = (−1,−6)

Wendepunkte: 0 =−18x⇒(x, y) = (0,0)

Symmetrie: y = −3x³ + 9x ist antisymmetrisch (bzgl. 0).

6

1

x y

0

b) 0 =∇f(x, y) =

9x²y−9y 3x³−9x+ 2y

⇔2y= 3x(3−x²)∧y(x²−1) = 0

⇔(x, y)∈ {(0,0),±(√

3,0),±(1,3)}

Hf(x, y) =

18xy 9(x²−1) 9(x² −1) 2

Punkte (0,0), ±(√

3,0): Die Hesse-Matrix hat die Form Hf =

0 a a 2

f¨ur a = −9 resp. a = 18 und ist somit indefinit (nehme v₁ = (1,1) und v₂ = (1,−1)⇒v^T_1,2Hf v_1,2 = 2±2a)⇒ Sattelpunkte.

Punkte ±(1,3): Hf =

54 0 0 2

ist positiv definit ⇒ Minima.

c) (1,3) ist Minimum,f(1,3) =−9⇒T_(1,3)Graph(f) ={(x, y, z)∈R³|z =−9}

Punkt (1,1): n =



 1 0

∂xf



×



 0 1

∂yf



=



 1 0 0



×



 0 1

−4



=



 0 4 1





f(1,1) = −5⇒T_(1,1)Graph(f) ={(x, y, z)∈R³|4y+z =−1}

6. Es gilt: ∂_xf = 2, ∂_zf =−1, ^√1

3(∂_xf+∂_yf+∂_zf) =√ 3.

⇒∂_yf = 2 ⇒ ∇f =



 2 2

−1



.

Die Richtungsableitung h∇f, vi ist maximal in Richtung v = _k∇f^∇f_k = ¹₃



 2 2

−1



 und nimmt dabei den Werth∇f, vi= 3 an. v steht gleichzeitig auch normal auf die Niveaufl¨ache in Q.

7. a) γ(t) =





1 + cos(t) 1 + sin(t)

2



, t∈[0,2π)

b) A= Z 2π

0

hf(γ(t)),γ(t)idt˙ = Z 2π

0

[−(−4−cos(t)−sin(t)) sin(t) + cos²(t)]dt

= Z 2π

0

[4 sin(t)+cos(t) sin(t)+1]dt ^Tipp= Z 2π

0

[4 sin(t)+1

2sin(2t)+1]dt= 2π Mit Stokes:

A= Z

B

hrotf, e_zidσ = 2 Z

B

dσ = 2π



rotf =





1 2x+y+z

−1− _2x+y+z¹ 2









c) n= (∂_ug×∂_vg)(1,1) =









−2u 2u+ ^v_u

−^v_u



×





1 ln(u)

−1−ln(u)







(1,1)

=





−2 3

−1



×



 1 0

−1



=





−3

−3

−3





g(1,1) = (0,1,−1)⇒T_(1,1)Graph(f) = {(x, y, z)∈R³|x+y+z = 0}

d) h(u, v) =f(g(u, v)) =





0 v−u²−1 ln(v−u²)





Dh(u, v) =





0 0

−2u 1

−_v−u^2u2

1 v−u²



⇒Dh(2,1) =





0 0

−4 1

4 3 −¹₃





8. a) Z 1

0

hV(tv_AB), v_ABidt= Z 1

0

(8t³+ 4t)dt= 4 =:A

b) Z

γ

hV(γ(t)),γ(t)idt˙ = Z

∂∆

hV(γ(t)),γ(t)idt˙ −A

Stokes

= −A+ Z

∆

hrotV(x, y, z), nidσ

= −A, da rotV = 0.