w j = u j + iv j.Wirschreiben alsof (z) ausführlich :

(1)

Heiko Dumlich und Max Homann

10. Mai 2006

3 Aufgaben zur Mathematikvorlesung für Physiker IV 1

3.1

Wirsuchen dieBedingungenandiereellenZahlen

a, b, c

^,^mit ^denen

ax ² + 2bxy + cy ²

^der

Realteil eines komplexen Polynoms wird. Zudembestimmenwir diesesPolynom. Es ist

sofort abzulesen, dassdasursprüngliche Polynom höchstens von 2.Ordnung ist :

f (z) = w _α z ² + w _β z + w _γ

wobei

z = x + iy

^und

w _j = u _j + iv _j

^.^Wir^schreiben ^also

f (z)

ausführlich :

f (z) = (u _α + iv _α ) (x + iy) ² + (u _β + iv _β ) (x + iy) + u _γ + iv _γ

= (u α + iv _α ) x ² + 2xyi − y ²

+ (u β + iv _β ) (x + iy) + u _γ + iv _γ

= u _α x ² + u _α 2xyi − u _α y ²

+ iv _α x ² − v _α 2xy − iv _α y ²

+(u _β x + u _β iy)+(iv _β x − v _β y)+u _γ +iv _γ

Wirformen umund erhalten:

= u _α x ² − y ²

− v _α 2xy + u _β x − v _β y + u _γ + i v _α x ² − y ²

+ u _α 2xy + u _β y + v _β x + v _γ

Somit folgt für denRealteil :

< (f (z)) = u _α x ² − y ²

− v _α 2xy + u _β x − v _β y + u _γ

Hieraus erkennen wir im Vergleich mit unserem gegebenen Term, dass die Terme

u β x, v β y, u γ

^nicht ^mit ûnserem ^gegebenem ^Polynom êrzeugbar ^sind. ^Dies ^heiÿt âber

zugleich, dass

u _β

^,

v _β

^und

u _γ

^Null ^sein ^müssen. ^Also ^bleibt ^für

f (z)

^nur ^die Möglichkeit

f (z) = w _α z ² + iv _γ

^übrig. ^Somit ^folgt

1

Freitag

(2)

< (w α ) = u α = a

c = −a

= (w _α ) = v _α = −b

Somit folgt also für diereellen Zahlen

a = −c

^und

b = 0

^. ^Somit ^folgt ^für ^den ^Realteil

desPolynoms :

< (f (x, y)) = a x ² − y ²

= ax ² + 2bxy + cy ²

Und für daskomplexe Polynom insgesamt:

f (x, y) == u _α x ² − y ²

− v _α 2xy + i v _α x ² − y ²

+ u _α 2xy + iv _γ f (z) = w _α z ² + iv _γ

3.2

Wirbetrachten dieFunktion

f (z) = ie ^z

^,^wir^zerlegen ^die ^Fûnktion ⁱⁿ^Real- ûnd Îmagi-

närteilund Rekonstruieren danach

f (z)

^aus^dem Imaginärteil

v

^.

ie ^z = ie ^(x+iy) = ie ^x · e ^iy = ie ^x (cos y + i sin y) = − sin y + i (cos y · e ^x )

Somit folgt für denReal- und Imaginärteil:

< (f (z)) = u(x, y) = − sin y

= (f (z)) = v(x, y) = cos y · e ^x

Wirwenden zurRekonstruktionausdem Imaginärteildasfolgende Rezept an:

f (z) = 2iv z 2 , −i z

2 + const.

Somit folgt :

f (z) = 2i cos

−i z 2

· e ^z ²

+ const.

Nun folgtmit

cos z = ê îz ^+e ₂ ⁻ îz

ûnd^da^der^Kosinusêine^gerade^Fûnktionîst

cos (−z) = cos z

^:

f (z) = 2i e ⁻ ^z ² + e ^z ² 2

!

· e ^z ² + const. = i · e ^z + i · e ⁰ + const.

(3)

f (z) = i · e ^z + i + const.

MitderKonstante

const. = −i

^wird^dieRekonstruktionkomplettundwirerhaltendie ursprüngliche Funktion:

f (z) = i · e ^z

3.3

WirbetrachtendasgeschlosseneIntegral

H

γ z dz ¯

^,^wobei

γ

^ein^Kreis^vom^Radius

r

^sei.^Wir

wählenalso alsKure

γ = r · e ^it

^,^mit

t ∈ [0, 2π]

^.^Für ^die^Ableitung^von

γ

^gilt

γ ˙ = ir · e ^it

^.

Somit folgt also:

I

γ

¯ z dz =

Z 2π 0

dt (¯ γ (t)) ˙ γ (t) = Z 2π

0

dt re ^−it · ire ^it = ir ² Z 2π

0

dt = 2πr ² i

⇒ I

γ

¯

z dz = 2πr ² i

UnterVerwendung desHauptsatzes derIntegralrechnung gilt :

I

γ

f(z) dz = F (b) − F (a) = 0

für Funktionen, dieeine Stammfunktionbesitzen.InunseremFall erhaltenwirjedoch

H

γ z dz ¯ 6= 0

^.Ês ^muss^jetzt ^noch ^gezeigt^werden, ^dassûnsere ^Fûnktion

z ¯

^stetig ^ist.

Beweis:

x 7−→ x

îst^stetig.^Stetigkeit^überträgt^sichâuf^Summenûnd^Produkte^stetiger

Funktionen .

Es gilt also

H

γ z dz ¯ 6= 0

^und

z ¯

^ist ^stetig. ^Somit ^folgt, ^dass

¯ z

^keine Stammfunktion besitzt.

w j = u j + iv j.Wirschreiben alsof (z) ausführlich :

a, b, c

ax 2 + 2bxy + cy 2

f (z) = w α z 2 + w β z + w γ

z = x + iy

w j = u j + iv j

f (z)

f (z) = (u α + iv α ) (x + iy) 2 + (u β + iv β ) (x + iy) + u γ + iv γ

= (u α + iv α ) x 2 + 2xyi − y 2

+ (u β + iv β ) (x + iy) + u γ + iv γ

= u α x 2 + u α 2xyi − u α y 2

+ iv α x 2 − v α 2xy − iv α y 2

+(u β x + u β iy)+(iv β x − v β y)+u γ +iv γ

= u α x 2 − y 2

− v α 2xy + u β x − v β y + u γ + i v α x 2 − y 2

+ u α 2xy + u β y + v β x + v γ

< (f (z)) = u α x 2 − y 2

− v α 2xy + u β x − v β y + u γ

u β x, v β y, u γ

u β

v β

u γ

f (z)

f (z) = w α z 2 + iv γ

< (w α ) = u α = a

c = −a

= (w α ) = v α = −b

a = −c

b = 0

< (f (x, y)) = a x 2 − y 2

= ax 2 + 2bxy + cy 2

f (x, y) == u α x 2 − y 2

− v α 2xy + i v α x 2 − y 2

+ u α 2xy + iv γ f (z) = w α z 2 + iv γ

f (z) = ie z

f (z)

v

ie z = ie (x+iy) = ie x · e iy = ie x (cos y + i sin y) = − sin y + i (cos y · e x )

< (f (z)) = u(x, y) = − sin y

= (f (z)) = v(x, y) = cos y · e x

f (z) = 2iv z 2 , −i z

2

+ const.

f (z) = 2i cos

−i z 2

· e z 2

+ const.

cos z = e iz +e 2 − iz

cos (−z) = cos z

f (z) = 2i e − z 2 + e z 2 2

!

· e z 2 + const. = i · e z + i · e 0 + const.

f (z) = i · e z + i + const.

const. = −i

f (z) = i · e z

H

γ z dz ¯

γ

r

γ = r · e it

t ∈ [0, 2π]

γ

γ ˙ = ir · e it

I

γ

¯ z dz =

Z 2π 0

dt (¯ γ (t)) ˙ γ (t) = Z 2π

0

dt re −it · ire it = ir 2 Z 2π

0

dt = 2πr 2 i

⇒ I

γ

¯

z dz = 2πr 2 i

I

γ

f(z) dz = F (b) − F (a) = 0

H

ax ² + 2bxy + cy ²

f (z) = w _α z ² + w _β z + w _γ

w _j = u _j + iv _j

f (z) = (u _α + iv _α ) (x + iy) ² + (u _β + iv _β ) (x + iy) + u _γ + iv _γ

= (u α + iv _α ) x ² + 2xyi − y ²

+ (u β + iv _β ) (x + iy) + u _γ + iv _γ

= u _α x ² + u _α 2xyi − u _α y ²

+ iv _α x ² − v _α 2xy − iv _α y ²

+(u _β x + u _β iy)+(iv _β x − v _β y)+u _γ +iv _γ

= u _α x ² − y ²

− v _α 2xy + u _β x − v _β y + u _γ + i v _α x ² − y ²

+ u _α 2xy + u _β y + v _β x + v _γ

< (f (z)) = u _α x ² − y ²

− v _α 2xy + u _β x − v _β y + u _γ

u _β

v _β

u _γ

f (z) = w _α z ² + iv _γ

= (w _α ) = v _α = −b

< (f (x, y)) = a x ² − y ²

= ax ² + 2bxy + cy ²

f (x, y) == u _α x ² − y ²

− v _α 2xy + i v _α x ² − y ²

+ u _α 2xy + iv _γ f (z) = w _α z ² + iv _γ

f (z) = ie ^z

ie ^z = ie ^(x+iy) = ie ^x · e ^iy = ie ^x (cos y + i sin y) = − sin y + i (cos y · e ^x )

= (f (z)) = v(x, y) = cos y · e ^x

· e ^z ²

cos z = ê îz ^+e ₂ ⁻ îz

f (z) = 2i e ⁻ ^z ² + e ^z ² 2

· e ^z ² + const. = i · e ^z + i · e ⁰ + const.

f (z) = i · e ^z + i + const.

f (z) = i · e ^z

γ = r · e ^it

γ ˙ = ir · e ^it

dt re ^−it · ire ^it = ir ² Z 2π

dt = 2πr ² i

z dz = 2πr ² i