Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Jonas Frede
Wintersemester 2019/2020
Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 2
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise19/emo/
Abgabe in der ¨Ubung am 07.11.2019 oder vorher in G02-207a
Wichtige organisatorische Information
• Die ¨Ubung am 31.10.2019 f¨allt aus.
Aufgabe 1 (2+2 Punkte)
Seien eine konvexe Menge X ⊆Rn und k Punkte x(1), . . . , x(k) ∈ X, sowie eine konvexe Funktion f ∶X →R gegeben. Beweise f¨ur jedes x ∶= ∑k
i=1
λix(i) mit ∑k
i=1
λi =1 und λ ≥Ok, dass gilt:
(a) x∈X (b) f(x) ≤ ∑k
i=1
λif(x(i))
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Beweise Satz 1.10 aus der Vorlesung: Eine Funktion f ∶Rn →R ist genau dann konvex und konkav, wenn sie affin ist.
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Beweise Bemerkung 2.8, Teil 1 aus der Vorlesung: Die konvexe H¨ulle von X⊆Rn ist die Menge der konvexen Kombinationen von endlich vielen Punkten ausX.
Aufgabe 4 (2 Punkte)
Zeige, dass lineare Abbildungen konvexe Mengen auf konvexe Mengen abbilden.
Aufgabe 5 (3 Punkte)
Beweise Bemerkung 2.26, Teil 2 aus der Vorlesung: Die konische H¨ulle einer konvexen Menge ist ein konvexer Kegel.
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