2. TEIL
BODEN UND WASSER
Die Gleichungen der Strömung des Wassers in gesättigten und teilgesättigten Böden
THEMISTOCLES DRACOS
Die Bewegung des Wassers im Porenraum der Lockergesteine ist im kleinen gesehen ein sehr komplexer Vorgang. Seitdem DARCY das nach ihm benannte Gesetz entdeckte, . ist es trotzdem gelungen, diesen Vorgang im großen gesehen recht erfolgreich mathematisch zu beschreiben und eine Vielzahl praktischer Pro
bleme rechnerisch zu behandeln. Im vorliegenden Aufsatz wird · versucht, eine Zusammenstellung der wichtigsten Gleichungen der Grundwasserströmung zu geben und die Konzepte, auf welchen sie beruhen, zu erläutern.
Die Lockergesteine werden als poröse Medien betrachtet, deren Porenraum zusammenhängend ist. Es wird ferner angenommen, daß die Poren untereinander durch Verengungen verbunden sind. Die Durchmesser der Poren sollen ihrerseits so groß sein, daß die Adhäsionskräfte vernachlässigbar werden und so klein, daß die durch die Gravitation bedingte Deformation der Menisken nicht berücksich
tigt werden muß.
Das Gesetz von Darcy und das Kontinuumkonzept der Grundwasserströmung
Die Bewegung des Wassers im Porenraum ·eines Lockergesteins könnte mit Hilfe der Navier-Stockes-Gleichung
(1) und der Kontinuitätsgleichung
(2)
berechnet werden.
Berücksichtigt man die Tatsache, daß in einer Grundwasserströmung die Träg
heitskräfte gegenüber den Zähigkeitskräften verschwindend klein werden, so läßt sich die Gleichung (1) durch Streichen der Trägheitsglieder auf folgende einfachere Form bringen
(3) Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung (1) ,linear. Sie kann integriert werden, wenn die Randbedingungen bekannt sind. Letztere ergeben sich für die Strömung in den Porengängen aus der Haftbedingung. Diese Bedingung verlangt, daß sowohl die normale als auch die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit an den ·Wänden der Porengänge verschwindet.
) (4)
Bildet man die Divergenz der Gleichung (3) und beachtet, daß die Operationen v z und div in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt werden dürfen, so erhält man unter Berücksichtigung der Gleichung (2)
(5) Das bedeutet, daß die Größe gz + p/ (2 die Potentialgleichung erfüllt. Ein Ge
schwindigkeitspotential gibt es hingegen nicht, denn in einer Potentialströmung ist bei bekanntem un an· der Wand ut · bestimmbar und nicht gleich null. Eine Poten
tialströmung kann deshalb die Randbedingungen (4) nicht erfüllen [1]. Die effek
tive Strömung im Porenraum eines porösen Mediums ist also keine Potential
strömung. Sie kann grundsätzlich mit Hilfe der Gleichungen (2) und (3), unter Berücksichtigung der Randbedingungen (4), berechnet werden. Diese Berechnung ist nur deshalb unmöglich, weil die Geometrie des Porenraums nicht erfaßbar ist.
In der Tat ist vom praktischen Standpunkt aus gesehen in den meisten Fällen kein Interesse für die Strömung im «mikroskopischen Bereich» vorhanden, da auch Messungen der wichtigen Parameter im «mikroskopischen Bereich» nicht durchführbar sind. Diese Tatsache wird im Darcyschen Gesetz berücksichtigt, in dem der Fluß Q durch eine endliche Fläche A auf den Druckverlust Llh über eine endliche Länge LIL bezogen wird und damit ein Reibungsbeiwert k definiert wird, den man Durchlässigkeit nennt.
& = k Ll h
A LI L .(6)
Die Größe Q/ A ergibt eine Geschwindigkeit v. Da A sowohl die Poren als auch die Körner einschließt, ist die Geschwindigkeit v in jedem physikalischen Punkt x, y, z des Raumes definiert, unabhängig davon, ob der Punkt im von den Poren oder
den Körnern eingenommenen Raum liegt. Die effektiv im Porenraum auftretende Strömung wird durch das Darcysche Gesetz in eine fiktive Strömung verwandelt, die im ganzen Raum kontinuierlich auftritt. Der durch die Gleichung (6) definierte Durchlässigkeitskoeffizient ist eine lokale Größe, die auch in jedem Punkt des Kontinuums bestimmt und somit von den Ortskoordinaten x, y, z abhängig ist. Aus der Darstellung folgt, ·daß das Gesetz von Darcy nur dann sinnvolle Resultate ergibt, wenn es auf ein Volumen A · L'.IL angewandt wird, das groß genug ist, um lokale Effekte auszumitteln, und klein genug, um Inhomogenitäten nicht in Erschei
nung treten zu lassen. Man nennt ein solches Volumen das repräsentative Elemen
tarvolumen (REV). Alle für die Strömung relevanten Parameter, wie die Porosität, der Wassergehalt, die Sättigung, der Durchlässigkeitskoeffizient, die Geschwindig-;
keit und der Druck, werden auf das REV bezogen und als Punktgrößen im Konti
nuum eingeführt. Als Punkt wird der Schwerpunkt -des REV angenommen. Die durch die obige Kontinuumsbetrachtung eingeführte Strömung läßt sich auch mit
tels der Navier-Stokes-Gleichung beschreiben. Der Definitionsbereich dieser Glei
chung ist der gesamte Grundwasserleiter, und seine Berandung fällt mit den Rän
dern des Grundwasserleiters zusammen, auf welchen auch die Randbedingungen zu formulieren sind.
Im Gegensatz zur «mikroskopischen» Behandlung der Strömung, wie sie durch die Gleichungen (1) bis (5) beschrieben wird, nennt man die auf dem Darcyschen Gesetz Gleichung ( 6) beruhende Behandlung «makroskopisch».
Die Grundwasserströmung in gesättigten Böden
Zunächst sollen die Konsequenzen der «makroskopischen» Betrachtungsweise in Strömungen, in welchen der Porenraum vollständig mit Wasser gefüllt ist, behan
delt werden. Wie schon erwähnt, läßt sich eine solche Strömung durch die Navier
Stokes-Gleichung und die Kontinuitätsgleichung mit den entsprechenden Rand
bedingungen berechnen. Letztere unterscheiden sich in der makroskopischen Be
trachtung in einem wesentlichen Punkt von denjenigen in der mikroskopischen Behandlung. Dieser Punkt betrifft die Bedingung entlang einem undurchlässigen Rand. Dort muß zwar die Normalkomponent� der Geschwindigkeit verschwinden, da aber die Geschwindigkeit im REV definiert wird,_ braucht die Tangentialkompo
nente nicht auch zu verschwinden, so daß am undurchlässigen Rand nur
(7) verlangt wird.
In der N avier-Stokes-Gleichung (1) gibt das letzte Glied die durch die Zähigkeit der Flüssigkeit entstehende Kraft. Die Größe dieser Kraft lä_ßt sich aus dem Darcy
Gesetz ermitteln und in der Gleichung anstelle dieses Gliedes einführen. Man erhält somit
(8)
und
(9) Da die Trägheitsglieder in der makroskopischen Strömung auch klein gegenüber den übrigen Gliedern der Gleichung (8) sind, kann man sie vernachlässigen, womit aus Gleichung (8) die Beziehung
(10) entsteht. Man multipliziere nun beide Seiten dieser Beziehung mit k/g und bilde die Divergenz
(11) und
(12) Die Bedeutung dieser Gleichungen wird im folgenden für drei oft auftretende Fälle angegeben.
- Isotrope homogene Grundwasserleiter
In einem isotropen homogenen Grundwasserleiter ist der Durchlässigkeitskoeffi
zient k konstant und in jeder Richtung gleich groß. Aus der Gleichung (12) erhält man
(13) Die Größe cp == z + p/ y erfüllt wie bei der mikroskopisch betrachteten Strömung die Potentialgleichung. Diese Größe ist aber gleichzeitig für k == konst nach Glei
chung (11) ein Geschwindigkeitspotential. In diesem Fall läßt sich zeigen, daß die Strömung rotationsfrei ist, auch wenn die Trägheitsglieder nicht vernachläs
sigt werden [2] , was eine schwächere Anforderung ist. Daß eine Potentialströ
mung eine realistische Lösung für die lineare Gleichung (10) ergibt, folgt aus der Tatsache, daß eine solche Strömung die Randbedingung (7) erfüllt. Zu be
achten ist dabei, daß im Gegensatz zu Gleichung (1), die zweiter Ordnung ist, die Gleichung (10) erster. Ordnung ist. Deshalb muß am Rand nur eine Bedin
gung erfüllt werden. Zur Lösung des makroskopischen Strömungsproblems ge
nügt in der Tat die Gleichung (13), die unabhängig. von der Durchlässigkeit des Bodens beziehungsweise von den Reibungsverlusten ist. Die Durchlässigkeit k wird nach Ermittlung der Lösung für cp zur Bestimmung der Geschwindigkeit v benötigt.
Homogene anisotrope Grundwasserleiter
Ein homogener anisotroper Grundwasserleiter liegt vor, wenn der Durchlässig
keitskoeffizient an einem Punkt in jeder Richtung einen anderen Wert aufweist, in derselben Richtung aber über den ganzen Strömungsbereich gleich groß ist.
Man kann zeigen (3], daß zur Beschreibung der Durchlässigkeit in diesem Fall die Werte kx, ky, kz parallel zu drei senkrecht aufeinander stehenden Haupt
achsen x, y, z genügen. Die Gleichung (12) ergibt in diesem Fall
= O (14)
was offensichtlich keine Potentialgleichung ist. In der Tat stehen in so einem Fall die Strom- und Potentiallinien nicht senkrecht aufeinander, und die Lösung ist, wie aus der Gleichung (14) hervorgeht, nicht unabhängig von der Durch
lässigkeit. Durch eine geeignete Maßstabänderung in zwei der drei Hauptrich
tungen ist es möglich, das Problem auf den isotropen Fall zurückzuführen (2] . Inhomogene Grundwasserleiter
In inhomogenen Grundwasserleitern ist die Durchlässigkeit eine Funktion des Ortes, also
(15) Sowohl die Gleichung (11) als auch die Gleichung (12) sind nicht linear. Eine Lösung ist in dem Fall nur auf numerischem Wege möglich. Wenn der Grund
wasserleiter isotrop ist, d. h., wenn die Durchlässigkeit an jedem Punkt einen von der Richtung unabhängigen Wert hat, so sind die Vektoren .Y. und grad (z + p/y) parallel.
Aus den durchgeführten Betrachtungen geht hervor, daß Grundwasserströmun
gen in gesättigten Böden nur dann als Potentialströmungen behandelt werden kön
nen, wenn der Boden homogen und isotrop ist oder wenn durch geeignete Trans
formationen das Problem auf ein solches in einem quasi homogenen isotropen Boden zurückgeführt werden kann.
Die Grundwasserströmung in teilgesättigten Böden
Eine Teilsättigung liegt vor, wenn das Wasser nur einen Teil des Porenraumes einnimmt. Der verbleibende Teil des Porenraumes wird hingegen durch die Luft besetzt. Man nennt den prozentualen Anteil des Porenraumes, der mit Wasser ge
füllt ist, den «Sättigungsgrad» oder einfach die «Sättigung» S des Bodens. In einem
teilgesättigten Boden kommen im Porenraum zwei Fluide vor. Beide Fluide können sich darin bewegen, sofern der Raum, den sie einnehmen, zusammenhängend ist.
Auch in diesem Fall ist eine Behandlung der Strömung nur im makroskopischen Bereich möglich. Da zwei Fluida sich gleichzeitig bewegen können, wird für jedes ein Darcy-Gesetz formuliert.
6?w
:::(,{) .6hv,I""
4 Ll L
t2a. k L1/2�
A= � f),L
(16) (17)
Der Fluß. wird beide Male auf die Fläche A bezogen und die Druckhöhendiffe
renz über dieselbe Strecke gemessen. Aus diesen Beziehungen ergeben sich somit zwei Kontinua, die denselben Raum einnehmen. Die durch die Gleichungen (16) und (17) definierten Durchlässigkeiten sind nicht nur von der Geometrie des Porenraumes und den physikalischen Eigenschaften der Flüssigkeiten, sondern auch von der Sättigung des Bodens am entsprechenden Ort oder, genauer gesagt, im entsprechenden REV, abhängig. Wenn die Sättigung örtlichen oder zeitlichen Änderungen unterworfen ist, werden auch die entsprechenden k-Werte örtliche oder zeitliche Änderungen aufweisen. Letztere können deshalb auch in homogenen isotropen Böden orts- o?er/und zeitabhängig sein. Ein weiterer Unterschied gegen
über der Strömung in gesättigten Böden tritt in der Kontinuitätsgleichung auf. Da innerhalb eines Elementarvolumens' eine zeitliche Änderung der Sättigung möglich ist, wird die Summe der Zu- und Abflüsse nicht gleich null, sondern gleich dieser zeitlichen Änderung der Sättigung mal die Porosität, d. h. gleich der Änderung des Wassergehaltes des Volumenelementes. Es ist also
(18) Auf jedes der sich aus den Beziehungen (16) und (17) ergebenden Kontinua lassen sich die Überlegungen mit der Navier-Stokes-Gleichung wiederholen und ergeben, bei Berücksichtigung der Gleichung (18),
_d,rfl
,,,;rd(lf {: J) = c/,;,,y"'" = -
11JJ
J!a_
= - ka 9ra4 f�
ff )
(19)
(20) (21) (22)
Es ist dabei zu beachten, daß
(23)
(24) und daß der prozentuale Anteil des Porenraumes, der durch Luft besetzt wird,
s� = 4-
s
(25)ist.
Die Gleichungen (20) und (22) sind offensichtlich nicht linear. Ein Geschwin
digkeitspotential läßt sich aus diesen Gleichungen nicht ermitteln. Sofern kw und ka keine Anisotropie aufweisen, sind die Vektoren Yw und grad (z + Pwlrw) bezie
hungsweise Ya und grad (z + Palra) in jedem Punkt parallel.
Die Gleichungen (19), (20), (21) und (22) sind nicht unabhängig voneinander, weil zwischen den Drücken im Wasser und in der Luft über den Kapillardruck eine B eziehung besteht:
(26) eingeführt
(27) ergibt.
B eachtet man nun, daß in fPa = z + Palra z gegenüber Palra vernachlässigt wer
den kann, was nichts anderes bedeutet, als daß das Gewicht der Luftsäule z ver
nachlässigbar klein ist, so erhält man aus (21)
und (28)
Das Einsetzen von (27) in (19), unter Berücksichtigung von (28), führt zu (29) Das letzte Glied rechter Hand hat einen Einfluß, wenn ka « kw ist. Solange aber keine großen Druckdifferenzen in der Luftphase auftreten, was der Fall ist, wenn die Luft in Verbindung mit der Atmosphäre steht, ist v a auch sehr klein, so
daß /§./
j
<� ::, und dieses Glied in den meisten praktischen Fällen vernachlässigbar klein wird. Auf diese Art ist es gelungen, Pw und Pa durch Pc auszu
drücken und v a zu eliminieren. Die Strömung des Wassers im teilgesättigten Boden läßt sich somit durch die zwei Gleichungen
und dtr (J-w 9ra<I 1� -
17c ))
et, beschreiben.
= - n JS "öf
(30) (31)
Die Größe - p/yw wird oft mit 'lfJg bezeichnet und Kapillarpotential bezogen auf die Gewichtseinheit der Flüss,igkeit genannt, so daß
(32) Selbstverständlich sind auch diese Gleichungen nicht linear und können mit wenigen Ausnahmen, in welchen eine Linearisierung möglich ist, nur numerisch integriert werden. Sie sind, wie die Gleichungen für die gesättigten Böden, erster Ordnung. Es genügt also, an der Berandung des Lösungsbereiches eine Rand
bedingung anzugeben, die sich grundsätzlich nicht von denjenigen im gesättigten Boden unterscheidet. Für einen undurchlässigen Rand insbesondere · gilt _immer - noch-die Bedingung (7).
Der Kapillardruck Pc und die Sättigung sind voneinander abhängig. Leider ist dieser Zusammenhang nicht eindeutig. Bei zunehmendem Kapillardruck ist die zugeordnete Sättigung größer als bei abnehmendem Kapillardruck. Die Beziehung S = S (Pc) weist eine Hysteresis auf. Da die Durchlässigkeit über die Sättigung auch mit dem Kapillardruck zusammenhängt, ist auch k = k (Pc) der Hysteresis unter
worfen. Diese Tatsache kann die Berechnung wesentlich erschweren.
Schlußbemerkungen
Die grundlegende Beziehung in der Behandlung von Grundwasserströmungen ist das Gesetz von Darcy. Dieses Gesetz ist empirisch und beruht auf einer makro
skopischen Betrachtung der Strömung. Es stellt ein Widerstandsgesetz, d. h. eine Beziehung zwischen Reibungsverlust und Geschwindigkeit, dar. Es ist offensicht
lich, daß die Behandlung der Strömung, basierend auf diesem Gesetz, nur Aus
künfte über Mittelwerte des Durchflusses und der Drücke geben, kann. über die effektiven Strömungsverhältnisse im Porenraum lassen sich daraus keinerlei Schlüsse ziehen. Der durch das Darcy-Gesetz definierte Durchlässigkeitskoeffizient
ist der entscheidende Parameter für die Berechnung der Strömung. An sich muß dieser Parameter an jedem Punkt des «Kontinuums» bekannt sein. Seine experi
mentelle Bestimmung ist aber mit großen Unsicherheiten verbunden. Dies gilt in besonderem Maße für Bestimmungen in situ.
Wie in diesem Aufsatz gezeigt wurde, hängt die Form der LösunK der Glei
chungen, die eine Grundwasserströmung beschreiben, weitgehend von den Durch
lässigkeitseigenschaften des Bodens ab. Die Potentialtheorie kann nur auf homo
gene isotrope Böden bei voller Sättigung angewandt werden. Strömungen in gesät
tigten anisotropen homogenen Böden lassen sich auf solche in isotropen homoge
nen zurückführen. In allen anderen Fällen ist die Strömung keine Potentialströ
mung und die Gleichungen nicht�linear.
Literaturverzeichnis
[1] ScHLICHTING, H., 1965: Grenzschicht-Theorie. 736 S., Karlsruhe, Braun.
[2] DRAcos, Tu., 1963: Ebene nicht-stationäre Grundwasserabflüsse mit freier Oberfläche. 114 S., Zürich, Leemann AG.
[3] ÜIILDS, E. C., 1969: Soil Water Phenomena. 493 S., London, Wiley.
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