Maximale Formelvorkommen, Kontraktion/Reduktion Welche Formelvorkommen sind maximal?
Normalisieren Sie die folgende Ableitung D:
A∧B (2)(∧E) A (→I)
C →A
B →C (1)
A∧B (2)(∧E) A
A∧B (2)(∧E) B (∧I)
A∧B
(∧E) B (→E) C (→E)
A (→I)(1)
(B →C)→A
(→I)(2) (A∧B)→((B →C)→A)
D kontrahiert mit (i) zu
A∧B (2)(∧E) A (→I)
C →A
B →C (1)
A∧B (2)(∧E) B (→E) C (→E)
A (→I)(1) (B →C)→A
(→I)(2)
(A∧B)→((B →C)→A) und mit (ii) zu D′
A∧B (1)(∧E) A (→I) (B →C)→A
(→I)(1)
(A∧B)→((B →C)→A)
Die Ableitung D′ enth¨alt kein maximales Formelvorkommen, ist also in Normalform.
Statt zuerst mit (i) zu kontrahieren, h¨atte eine Umformung mit (ii) die Ableitung D in einem Schritt reduziert.
Notwendigkeit der Parametersepariertheit
Warum sind in der untenstehenden (linken) Ableitung (a komme in keiner Annahme in D′ vor, von der P(a, a) abh¨angt) Parameter nicht separiert?
In der Ableitung sind Parameter nicht separiert, da der Eigenparameter b der ersten (∀I) nicht nur ¨uber dieser Anwendung, sondern auch darunter vorkommt.
Kontrahieren Sie die linke Ableitung, um das maximale Formelvor- kommen ∀zP(z, z) (eingerahmt) zu beseitigen.
D′
∀xP(x, a) (∀E)
P(b, a) (∀I)
D
∀yP(y, a) (∀E)
P(a, a)
(∀I)
∀zP(z, z)
(∀E) P(b, b)
1
D′[a/b]
∀xP(x, b) P(b, b)
= D[a/b]
∀yP(y, b) P(b, b)
Warum ist die resultierende Ableitung nicht korrekt?
Von P(b, b) darf mit (∀I) nicht zu ∀yP(y, b) ¨uberge- gangen werden.
Stellen Sie in der linken Ableitung erst Parametersepariertheit her, und kontrahieren Sie diese Ableitung.
D′
∀xP(x, a) P(b, a)
∀yP(y, a) P(a, a)
∀zP(z, z) P(b, b)
Parameter- separierung
;
D′
∀xP(x, a) P(b, a)
∀yP(y, a) P(a, a)
∀zP(z, z) P(c, c)
1
D′[a/c]
∀xP(x, c) P(b, c)
∀yP(y, c) P(c, c)
Die resultierende Ableitung ist korrekt.
