Relation
Stehen Elemente einer Menge Ain Beziehung zu Elementen aus einer Menge B, so kann dies mit Hilfe einer Relation ausgedr¨uckt werden. Diese besteht aus geordneten Paaren (a,b) der Elemente, die durch die
Beziehung verkn¨upft sind. Eine RelationR ist also eine Teilmenge des kartesischen Produkts vonA undB. Man sagt asteht in Relation zu b und schreibt aRb:
aRb ⇐⇒ (a,b)∈R⊆A×B.
Beispiel
Relationale Datenbank: Zuordnung von Eigenschaften
Carl Friedrich Gauß
Nummerierung der Namen und Fachgebiete Beschreibung der Relation R als Teilmenge von {1, . . . , 7} × {1,2,3}:
R ∼ {(1,2),(2,3),(3,3),(4,1),(4,3),
Eigenschaften von Relationen
Eine Relation R auf einer MengeA (R ⊆A×A) heißt
reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht:
∀a∈A:aRa
symmetrisch, wenn die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt:
aRb =⇒ bRa
antisymmetrisch, wenn aus der Symmetrie die Identit¨at folgt:
aRb∧bRa =⇒ a=b
transitiv, wenn aus einer Kette das mittlere Element entfernt werden kann:aRb∧bRc =⇒ aRc
total, wenn je zwei Elemente in mindestens einer Richtung in Relation stehen: ∀a,b ∈A:aRb∨bRa
Ist eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, so wird sie Aquivalenzrelation genannt. Es wird dann meist¨ a∼b statt aRb oder (a,b)∈R geschrieben. Eine ¨Aquivalenzrelation unterteilt die Menge Ain disjunkte Teilmengen (¨Aquivalenzklassen), wobei zwei Elemente einer Teilmenge zueinander in Relation stehen (¨aquivalent sind), w¨ahrend zwei Elemente aus unterschiedlichen Teilmengen dies nicht tun.
Ist eine Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, so ist sie eine Halbordnung und man schreibt meista≤b stattaRb oder (a,b)∈R. Ist eine Halbordnung zus¨atzlich total, heißt sie (totale) Ordnung undA heißt durch ≤geordnet.
Beispiel
Halbordnung und ¨Aquivalenzrelation auf der Potenzmenge P(M), der Menge aller Teilmengen einer Menge M
(i) Mengeninklusion⊆:
Halbordnung in P(M), denn A⊆A reflexiv
A⊆B∧B⊆A =⇒ A=B antisymmetrisch A⊆B ⊆C ⇒A⊆C transitiv
keine Ordnung, falls|M|>1:
a,b ∈M,a6=b :{a} 6⊆ {b} ∧ {b} 6⊆ {a},
d.h. es gibt Mengen, die nicht zueinander in Relation stehen (⊆ nicht total)
(ii)”hat gleich viele Elemente wie“:
Aquivalenzrelation in¨ P(M) f¨ur eine endliche MengeM, denn
|A|=|A| reflexiv
|A|=|B| =⇒ |B|=|A| symmetrisch
|A|=|B|=|C| ⇒ |A|=|C| transitiv
