Beweise und Widerlegungen in der formalen Logik SS 2010 Ubungsblatt 5 ¨

Beweise und Widerlegungen in der formalen Logik SS 2010 Ubungsblatt 5 ¨

Thomas Piecha

Aufgabe 1 (15 Punkte)

Geben Sie f ¨ur folgende Ableitungen an, welche Formelvorkommen maximal sind, und normalisieren Sie die Ableitungen. Geben Sie dabei jeweils zwei Reduktionen mit allen erforderlichen Kontraktionsschritten an. (Der Parameterakomme in keiner Annahme in Dvor, von der die Pr¨amisse einer Anwendung von (∀I) abh¨angt.)

(a) D

∀xP(x, a) (∀E) P(b, a)

(∀I)

∀yP(y, a) (∀E) P(a, a)

(∀I)

∀zP(z, z) (∀E)

P(b, b) (4 Punkte)

(b)

¬A⁽²⁾

(A→B)→A⁽³⁾

D

B (→I) A→B

(→E) A (→I)

(A→B)→A

D

B (→I) A→B

(→E) A(∧I)

¬A∧A (∧E)

¬A

(A→B)→A⁽³⁾

¬A⁽²⁾ A⁽¹⁾(→E)

⊥(⊥)_c B (→I)⁽¹⁾ A→B

(→E) A(→E)

⊥(⊥)_c(2)

A (→I)⁽³⁾

((A→B)→A)→A (5 Punkte)

(c) (x nicht frei inA) A→ ∀xB(x) A⁽¹⁾

(→E)

∀xB(x) (∀E) B(a)

(→I)⁽¹⁾ A→B(a)

D

A(→E) B(a)

(→I) A→B(a)

(∀I)

∀x(A→B(x)) (∀E)

A→B(a) (6 Punkte)

Aufgabe 2 (5 Punkte) Beweisen Sie:

(a) ∀x(A→B(x))`NKA→ ∀xB(x) (x nicht frei inA) (2 Punkte) (b) A→ ∃xB(x)`_NK∃x(A→B(x)) (x nicht frei inA)

Hinweis: Verwenden Sie den Beweis einer aussagenlogischen Formel. (3 Punkte)