Beweise und Widerlegungen in der formalen Logik SS 2008 Ubungsblatt 5 ¨
(Abgabe am 11. 6.)Thomas Piecha
Aufgabe 1 (15 Punkte)
Geben Sie f¨ur folgende Ableitungen an, welche Formelvorkommen maximal sind, und normalisieren Sie die Ableitungen. Geben Sie dabei jeweils zwei Reduktionen mit allen erforderlichen Kontraktionsschritten an. (Der Parameter a komme in keiner Annahme inD vor, von der die Pr¨amisse einer Anwendung von (∀I) abh¨angt.)
(a) D
∀xP(x, a) (∀E) P(b, a)
(∀I)
∀yP(y, a) (∀E) P(a, a)
(∀I)
∀zP(z, z) (∀E)
P(b, b) (4 Punkte)
(b)
¬A(2)
(A→B)→A(3)
D
B (→I) A→B
(→E) A (→I)
(A→B)→A
D
B (→I) A→B
(→E) A(∧I)
¬A∧A (∧E)
¬A
(A→B)→A(3)
¬A(2) A(1)
(→E)
⊥(⊥)c
B (→I)(1)
A→B
(→E) A(→E)
⊥(⊥)c(2)
A (→I)(3)
((A→B)→A)→A (5 Punkte)
(c) (x nicht frei in A) A→ ∀xB(x) A(1)
(→E)
∀xB(x) (∀E) B(a) (→I)(1)
A→B(a)
D
A(→E) B(a) (→I)
A→B(a)
(∀I)
∀x(A→B(x)) (∀E)
A→B(a) (6 Punkte)
Aufgabe 2 (5 Punkte) Beweisen Sie:
(a) ∀x(A→B(x))`NKA→ ∀xB(x) (x nicht frei in A) (2 Punkte) (b) A→ ∃xB(x)`NK∃x(A→B(x)) (x nicht frei in A)
Hinweis: Verwenden Sie den Beweis einer aussagenlogischen Formel. (3 Punkte)
