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Ubungen in lin.Alg.+Geom.¨ 3 E+M II / 14 3
Eigenwertprobleme: Diverse Anwendungen
Probl. 1 Gegeben sind die Punkte P1(2,1), P2(3,2), P3(1,3). Konstruiere die Drehmatrix D(ϕ) mitϕ= 71o. Drehe damit das DreieckF1 =4(P1P2P3) umϕund berechne die Eckpunkte des Bilddreiecks F2 =4(Q1Q2Q3). Skizziere die Situation.
Probl. 2 Gegeben ist Gerade g : ~v =~0 +t·~x1 mit ~x1 = 4
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sowie die Punkte P1, P2, P3 aus der obigen Aufgabe. Konstruiere die SpiegelungsmatrixS(g). Spiegele damit das Dreieck F1 =4(P1P2P3) und berechne die Eckpunkte des BilddreiecksF3 =4(S1S2S3). Skizziere die Situation.
Probl. 3 Berechne die Eigenwerte und die Eigenvektoren vonS(g) in der letzten Aufgabe. Was f¨allt auf ?
Probl. 4 Gegeben sind die Vektoren ~a =
3 1 2
, ~b =
−1 2
−2
und ~u =
2 3
−1
. Kontrolliere, ob diese drei Vektoren linear unabh¨angig sind. Die Vektoren~a und~b bilden zusammen mit dem UrsprungO eine Ebene Φ.~u zeigt die Projektionsrichtung bei der Projektion auf Φ an. Konstruiere die Projektionsmatrix und projiziere das DreieckF3=4(T1T2T3) auf die Ebene Φ (Dreieck F4 = 4(N1N2N3)). Dabei ist T1 = T1(0,2,3), T2 =T2(1,1,0), T3 = T3(2,0,2).
Probl. 5 Suche die Matrix, welche in der letzen Aufgabe die PunktePk in die Punkte Mk abbildet.
Dabei ist
−→
OMk= 1 2(
−→
OTk +
−→
ONk). Berechne dazu die Eigenwerte und die Eigenvektoren.
F¨allt etwas auf ?
Probl. 6 Durch die Gerade g : ~x =~0 +t·~a, ~a =
3 1 2
, ist eine Drehachse im Raum gegeben.
Das oben genannte Dreieck F3 = 4(T1T2T3) soll um g mit Blickrichtung −~a um +56o gedreht werden. Konstruiere die Drehmatrix und berechne die Eckpunkte R1, R2, R3
des gedrehten Dreiecks.
Probl. 7 Durch den Ursprung O,~a=
3 1 2
und~b=
−1 3 0
ist eine Ebene Φ im Raum gegeben.
Das oben genannte Dreieck F3 = 4(T1T2T3) soll an Φ gespiegelt werden. Konstruiere die Spiegelungsmatrix und berechne die EckpunkteS1, S2, S3 des gespiegelten Dreiecks.
(Hinweis: Verwende Eigenwerte und Eigenvektoren.)
Kontrolliere, ob die MittelunkteMk der StreckenTkSk in Φ liegen.
WIR
