Antwort zur Frage 232:
Welche gegenseitige Lage k¨onnen eine Gerade und eine Ebene im Raum haben?
Betrachtet werden die Geradeg:~x=~p+t·~u und die EbeneE:~x=~q+r·~v+s·w~
1.) Sind ~u, ~v und w~ linear abh¨angig, dann sind g undE entwederparalleloderg liegt in E.
1.1) g und E sind parallel, wenn ~p−~q, ~v und w~ linear unabh¨angig sind, denn dann hat die Gleichung
~
p+t·~u=~q+r·~v+s·w keine L¨~ osung.
1.2) g liegt in E, wenn ~p−~q, ~v und w~ linear abh¨angig sind, denn dann hat die Gleichung~p+t·~u=
~q+r·~v+s·w unendlich viele L¨~ osungen.
Diese Unterscheidung kann schneller durchgef¨uhrt werden, indem man den PunktQmit dem Ortsvek- tor~qin die Geradengleichung einsetzt.
2.) Sind~u,~vundw~ linear unabh¨angig, dann schnei- det die Gerade g die Ebene G. Die Koordinaten des Schnittpunktes erh¨alt man aus dergenau einen L¨osungder Gleichung~p+t·~u=~q+r·~v+s·w.~ Liegt die Ebene in der Koordinaten- oder Normalen- form vor, dann gelten folgende Beziehungen zwischen dem Normalenvektor~nund dem Richtungsvektor~u:
1. ~nund~usind Vielfache voneinander
⇒Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene.
2. Das Skalarprodukt~n·~u=0
⇒die Gerade liegt parallel zur Ebene oder in ihr.
Die Unterscheidung erfolgt durch Einsetzen des GeradenpunktesPmit dem Ortsvektor~pinE.
3. Treffen 1. oder 2. nicht zu, schneidet die Gerade die Ebene nicht rechtwinklig.
