Momentenform einer Geraden im Raum Die Punkte X auf einer Gera-
den g durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor ~ u lassen sich durch
−→ PX × ~ u = ~ 0
beschreiben, d.h. f¨ ur alle Punkte X ∈ g ist −→
PX parallel zu ~ u .
Nach Einsetzen von −→
PX = ~ x − ~ p erh¨ alt man f¨ ur die Ortsvektoren
~ x × ~ u = ~ c , ~ c = ~ p × ~ u ,
d.h. eine ¨ Ubereinstimmung der Fl¨ acheninhalte der Parallelogramme, die durch Scherung ineinander ¨ ubergehen.
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Beipiel
Punktprobe (X ∈ g, Y ∈ g ?) f¨ ur die Gerade g durch den Punkt P = (2, 0, −1) mit Richtungsvektor ~ u = (−3, 1, 2)
tund X = (−4, 2, 3), Y = (−3, 2, 4)
Z ∈ g ⇔ −→
PZ × ~ u = ~ 0 bzw. alternativ Z ∈ g ⇔ ∃ L¨ osung t des
¨ uberbestimmten Gleichungssystems ~ z − ~ p = t~ u (i) Punkt X = (−3, 1, 2):
−→ PX × ~ u =
−4 2 3
−
2 0
−1
×
−3 1 2
=
−6 2 4
×
−3 1 2
=
2 · 2 − 4 · 1 4 · (−3) − (−6) · 2 (−6) · 1 − 2 · (−3)
=
0 0 0
= ⇒ X ∈ g
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(ii) Punkt Y = (−3, 2, 4):
~ y − ~ p =
−3 2 4
−
2 0
−1
=
−5 2 5
¨
uberbestimmtes Gleichungssystem ~ y − ~ p = t~ u
−5 2 5
= t
−3 1 2
zweite Komponente = ⇒ t = 1/2
inkonsistent zur ersten Komponente: −5 6= (1/2) · (−3), d.h. Y ∈ / g
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