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Logik in der Informatik

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Goethe-Universität Frankfurt am Main 9. Februar 2012 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2011 / 2012

Übungsblatt 14

Aufgabe 1: (25 Punkte)

Zeigen Sie, dass in Definition 10.10 (“Repräsentierbarkeit einer Funktion”) die Bedingung (1.2) be- reits aus den Bedingungen (1.1) und (2) folgt, sofernT ⊇Qist. D.h.:

SeiT ⊇Qeine Menge von FO[σar]-Sätzen, seik>1, seif :Nk →Neine totale Funktion, und sei ϕ(x1, . . . , xk, y)eine FO[σar]-Formel, so dass gilt:

(1.1) Für allem1, . . . , mk, n∈Nmit f(m1, . . . , mk) =n gilt: T |=ϕ(m1, . . . , mk, n).

(2) Für allem1, . . . , mk ∈Ngilt:

T |= ∀y1∀y2

ϕ(m1, . . . , mk, y1)∧ϕ(m1, . . . , mk, y2)

→y1=y2

.

Zeigen Sie, dass dann auch Folgendes gilt:

(1.2) Für allem1, . . . , mk, n∈Nmit f(m1, . . . , mk)6=n gilt: T |=¬ϕ(m1, . . . , mk, n).

Frage: An welcher Stelle benutzt Ihr Beweis, dassT ⊇Qist?

Aufgabe 2: (25 Punkte)

Warum zeigt der Beweis von Lemma 10.12 (a) nicht sogar, dass jedeΣ1-definierbare Funktion inQ repräsentierbar ist?

Aufgabe 3: (25 Punkte)

Zeigen Sie, dass es eineΣ1-Formelϕgibt, so dass es keine zu¬ϕäquivalenteΣ1-Formel gibt.

Aufgabe 4: (25 Punkte)

Viel Spaß in den Semesterferien!

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