Logik in der Informatik

Goethe-Universität Frankfurt am Main 27. Oktober 2011 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2011 / 2012

Übungsblatt 1

Zu bearbeiten bis Donnerstag, 3. November 2011

Aufgabe 1: (20 Punkte)

Geben Sie FO[σAr]-Formeln an, die im StandardmodellN der Arithmetik folgende intuitive Bedeu- tung haben:

(a) Es gibt unendlich viele Primzahlenp∈N, so dassp= 3m+ 2für eine Zahlm∈N. (b) √

2ist irrational, d.h. es gibt keine Zahlenm, n∈Nmit√ 2 = ^m_n.

(c) Jede zusammengesetzte Zahln∈Nbesitzt einen Teilerm∈Nmitm6√ n.

Aufgabe 2: (25 Punkte)

Seiσeine Signatur, die aus endlich vielen Symbolen besteht, und seiAeine beliebigeσ-Struktur, deren UniversumAendlich ist.

• Geben Sie einen FO[σ]-Satzϕ_Aan, der die StrukturAbis auf Isomorphie eindeutig beschreibt.

D.h. es soll für alleσ-StrukturenBgelten: B|=ϕ_A ⇐⇒ B∼=A.

• Beweisen Sie, dass ihre FormelϕAdie in (a) geforderte Eigenschaft tatsächlich besitzt. D.h.

zeigen Sie, dass für alleσ-StrukturenBgilt: B|=ϕA ⇐⇒ B∼=A.

Aufgabe 3: (25 Punkte)

Beweisen Sie das Isomorphielemma (Satz 1.36 aus der Vorlesung).

Aufgabe 4: (30 Punkte)

Seiσ={6, P_a, P_b}die Signatur, die aus dem 2-stelligen Relationssymbol6sowie zwei 1-stelligen RelationssymbolenP_aundP_bbesteht.

Einem endlichen Wortw=w₁· · ·w_nder Längen>1über dem AlphabetΣ :={a, b}ordnen wir die folgendeσ-StrukturA_w= (A_w,6^Aw, P_a^Aw, P_b^Aw)zu:

• Aw:={1, . . . , n},

• 6^Awist die natürliche lineare Ordnung auf{1, . . . , n},

• P_a^Aw :={i∈Aw : wi=a},

• P_b^Aw :={i∈Aw : wi=b}.

Ein FO[σ]-Satzϕbeschreibt eine SpracheL ⊆ Σ^∗, falls für jedes nicht-leere Wortw ∈ Σ^∗ gilt:

w∈L ⇐⇒ Aw|=ϕ.

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(a) Welche Sprache beschreibt der folgende FO[σ]-Satzϕ0?

ϕ0 := ∃x∃y

x6y ∧ ¬x=y ∧ ∀z x6z→(x=z∨y6z)

∧ Pa(x) ∧Pb(y)

(b) Geben Sie einen FO[σ]-Satz an, der die durch den regulären Ausdruck (a|b)b(a|b)^∗ba^∗ defi- nierte Sprache beschreibt.

(c) Können Sie auch einen FO[σ]-Satz finden, der die Sprache aller Worte beschreibt, in denen die Anzahl der in ihnen vorkommendenas gerade ist?

Falls ja, geben Sie den Satz an; falls nein, versuchen Sie zu erklären, warum es keinen solchen Satz zu geben scheint.