Goethe-Universität Frankfurt am Main 2. Februar 2012 Institut für Informatik
Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt
Logik in der Informatik
Wintersemester 2011 / 2012
Übungsblatt 13
Zu bearbeiten bis Donnerstag, 9. Februar 2012
Aufgabe 1: (25 Punkte)
Beweisen Sie Satz 9.24 aus der Vorlesung, d.h. zeigen Sie Folgendes:
Istσ={P1, . . . , Pk}eine endliche Signatur, die auskRelationssymbolen der Stelligkeit1besteht, so ist das endliche Erfüllbarkeitsproblem für FO[σ]entscheidbar.
Aufgabe 2: (25 Punkte)
SeiEein 2-stelliges Relationssymbol. Zeigen Sie, dass endl-Erf-FO[{E}]unentscheidbar ist.
Überlegen Sie sich dazu zunächst eine geeignete Repräsentation von σ-Strukturen (für beliebige endliche Signaturenσ) durch gerichtete Graphen.
Nutzen Sie dann, dass das Problem endl-Erf-FO[˜σAr]für die Signatur˜σAraus dem Beweis von Satz 9.25 unentscheidbar ist.
Aufgabe 3: (25 Punkte)
Beweisen Sie die folgende Behauptung aus dem Beweis von Satz 9.25 (Satz von Trakhtenbrot):
Seiσ˜Ardie im Beweis von Satz 9.25 konstruierte Signatur. Für jede endlicheσ˜Ar-StrukturAgilt: A erfüllt die Bedingungen 1)–5) aus dem Beweis von Satz 9.25 genau dann, wenn es einm∈N>1gibt, so dassA∼=N |{0,...,m}.
Aufgabe 4: (25 Punkte)
Seiσeine Signatur, die mindestens ein 2-stelliges Relationssymbol enthält, seienr, s∈Nund seiR einr-stelliges Relationssymbol mitR /∈σ.
Eine Formelϕ(x1, . . , xs)∈FO[σ∪{R}]˙ heißtim Endlichen monoton inR, wenn für alle endlichen σ-StrukturenAund alle RelationenRA1, RA2 ⊆Argilt:
Falls RA1 ⊆RA2, so ϕ A, RA1
⊆ϕ A, RA2 ,
wobeiϕ(A, RAi) :={¯a∈As: (A, RAi)|=ϕ[¯a]}.
Beweisen Sie, dass das folgende Problem unentscheidbar ist.
MONOTONIE IMENDLICHEN:
Eingabe: Eine FO[σ∪{R}]-Formel˙ ϕ(x1, . . . , xs).
Frage: Istϕ(x1, . . . , xs)im Endlichen monoton inR? Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Trakhtenbrot.
