• Keine Ergebnisse gefunden

Goethe-Universität Frankfurt am Main 6. Februar 2014 Institut für Informatik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Aktie "Goethe-Universität Frankfurt am Main 6. Februar 2014 Institut für Informatik"

Copied!
2
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Goethe-Universität Frankfurt am Main 6. Februar 2014 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2013/14

Übungsblatt 12

Zu bearbeiten bis 13. Februar 2014

Aufgabe 1: (25 Punkte)

Zeigen Sie, dass es eine Σ

1

-Formel ϕ gibt, so dass es keine zu ¬ϕ bezüglich des Standardmodells N der Arithmetik äquivalente Σ

1

-Formel gibt.

Aufgabe 2: (25 Punkte)

Warum zeigt der Beweis von Lemma 10.12 (a) nicht sogar, dass jede Σ

1

-definierbare Funktion in Q repräsentierbar ist?

Aufgabe 3: (25 Punkte)

Sei σ eine Signatur, die mindestens ein 2-stelliges Relationssymbol enthält, seien r, s ∈ N und sei R ein r-stelliges Relationssymbol mit R /σ.

Eine FO[σ ∪{R}]-Formel ˙ ϕ(x

1

, . . . , x

s

) heißt im Endlichen monoton in R, wenn für alle endlichen σ-Strukturen A und alle Relationen R

A1

, R

A2

A

r

gilt:

Falls R

A1

R

A2

, so ϕ

A, R

A1

ϕ

A, R

A2

, wobei ϕ(A, R

Ai

) := {¯ aA

s

: (A, R

Ai

) | = ϕ[¯ a]}.

Beweisen Sie, dass das folgende Problem unentscheidbar ist.

Monotonie im Endlichen:

Eingabe: Eine FO[σ ∪ {R}]-Formel ˙ ϕ(x

1

, . . . , x

s

).

Frage: Ist ϕ(x

1

, . . . , x

s

) im Endlichen monoton in R?

Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Trakhtenbrot.

— auf der nächsten Seite geht’s weiter —

(2)

Aufgabe 4: (25 Punkte) Der Beweis des Satzes von Trakhtenbrot aus der Vorlesung zeigt lediglich, dass das endliche Erfüllbarkeitsproblem für FO[σ

Ar

]-Formeln unentscheidbar ist. Vervollständigen Sie den Beweis, indem Sie zeigen, dass das endliche Erfüllbarkeitsproblem für FO[E]-Formeln unentscheidbar ist, wobei E ein zweistelliges Relationssymbol ist.

Hinweis: Überlegen Sie sich eine geeignete Repräsentation beliebiger σ

Ar

-Strukturen durch

knoten- und kantengefärbte gerichtete Graphen, repräsentiert durch Strukturen über einer ge-

eigneten relationalen Signatur ˆ σ, deren Relationssymbole alle eine Stelligkeit 6 2 haben. Be-

nutzen Sie die Unentscheidbarkeit des endlichen Erfüllbarkeitsproblems für FO[σ

Ar

]-Sätze, um

die Unentscheidbarkeit des endlichen Erfüllbarkeitsproblems für FO[ˆ σ]-Sätze zu beweisen. An-

schließend können Sie den Beweis abschließen, indem Sie sich eine geeignete Repräsentation von

knoten- und kantengefärbten Graphen durch (ungefärbte) gerichtete Graphen überlegen.

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

In jedem Zug kann der Spieler, der gerade an der Reihe ist, entweder drei Hölzer vom Tisch entfernen oder, falls eine gerade Anzahl an Hölzern auf dem Tisch liegt, den Haufen

Er verfügt über fast un- begrenzte Reichtümer und ist deshalb bereit, den Gehaltsvorstellungen qualifizierten Personals weitgehend entgegenzukommen. Die erste Bewerberin ist

Die folgenden Aufgaben behandeln grundlegende Schreibweisen sowie Zusammenhänge, deren Kenntnis wichtig zum Verständnis der Vorlesung ist. Die Aufgaben dieses Blattes werden in

Wenn ja, beschreiben Sie eine solche Strategie und geben Sie in asymptotischer Notation an, wie viele Versuche von Bob bei dieser Strategie nötig sind, um das Geheimnis zu erraten.

Dazu sei die Klasse liste2 gegeben, die genauso wie die Klasse liste aus der Vorlesung definiert ist, außer, dass sie zusätzlich eine Funktion movetoend() besitzt, welche

Da- bei soll jeder Film einem Knoten in V entsprechen und für a, b ∈ V soll eine gerichtete Kante (a, b) genau dann in E sein, wenn der durch a repräsentierte Film vor dem durch

Für diese Aufgabe ist kein Code gefordert, eine Beschreibung der wesentlichen Schritte des Algorithmus zusammen mit der Begründung der Korrektheit und einer Laufzeitanalyse reichen

Zudem können auf jeden Stapel nur exakt so viele Bücher hinzukommen, wie bereits darauf liegen und kein Stapel darf aufgelöst werden, d.h?. auf jedem der drei Stapel muss zumindest