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Goethe-Universität Frankfurt am Main 10. Dezember 2013 Institut für Informatik

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Goethe-Universität Frankfurt am Main 10. Dezember 2013 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2013/14

Übungsblatt 8

Zu bearbeiten bis 19. Dezember 2013

Aufgabe 1: (25 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Regel

(∃A) : Γ, ϕ

yx

` ψ

Γ, ∃x ϕ ` ψ falls y / ∈ frei(Γ, ∃x ϕ, ψ)

des Sequenzenkalküls S gilt: Wenn die Voraussetzung korrekt ist, dann ist die Konsequenz korrekt.

Aufgabe 2: (25 Punkte)

Zeigen Sie, dass die Regel Γ, ϕ, ψ ` χ

Γ `

(ϕ ∧ ψ)χ

im Sequenzenkalkül S ableitbar ist.

Aufgabe 3: (10 + 15 = 25 Punkte)

Betrachten Sie die Regel

(∀∃) Γ, ∃x ϕ ` ∀x ϕ

(a) Prüfen Sie, ob die Regel (∀∃) im Sequenzenkalkül S ableitbar ist.

(b) Sei S

0

der Kalkül, der aus dem Sequenzenkalkül S durch Hinzufügen der Regel (∀∃) entsteht. Prüfen Sie, ob jede Sequenz in S

0

ableitbar ist.

— auf der nächsten Seite geht’s weiter —

(2)

Aufgabe 4: (11 + 9 + 5 = 25 Punkte) Eine Aussagenvariable hat die Form V

i

, für ein i ∈ N . Die Menge AL der aussagenlogischen Formeln ist folgendermaßen induktiv definiert:

- V

i

∈ AL , für jede Aussagenvariable V

i

. - Wenn ϕ ∈ AL ist, so ist auch ¬ϕ ∈ AL .

- Wenn ϕ

1

, ϕ

2

∈ AL sind, so ist auch (ϕ

1

ϕ

2

) ∈ AL .

Eine Belegung ist eine Abbildung B : {V

i

: i ∈ N } → {0, 1}. Der Wahrheitswert J ϕ K

B

∈ {0, 1}

von ϕ bezüglich B ist folgendermaßen definiert:

- Für i ∈ N ist J V

i

K

B

= B(V

i

).

- Für ψ ∈ AL ist J ¬ψ K

B

= 0, falls J ψ K

B

= 1, und J ¬ψ K

B

= 1 sonst.

- Für ψ

1

, ψ

2

∈ AL ist J (ψ

1

ψ

2

) K

B

= 0, falls J ψ

1

K

B

= 1 und J ψ

2

K

B

= 0, und J (ψ

1

ψ

2

) K

B

= 1 sonst.

Eine Formel ϕ ∈ AL ist allgemeingültig, falls J ϕ K

B

= 1 für jede Belegung B gilt. Für Φ ⊆ AL und ψ ∈ AL schreiben wir Φ | = ψ, wenn für jede Belegung B, so dass J ϕ K

B

= 1 für jedes ϕ ∈ Φ, auch J ψ K

B

= 1 gilt.

Wir betrachten im Folgenden Kalküle (vgl. Kapitel 7.1 im Skript) über M := AL . Wir schreiben Φ `

κ

ψ um auszudrücken, dass es eine Ableitung von ψ aus Φ im Kalkül κ gibt (vgl. Definition 7.3). Ein Kalkül κ über AL heißt korrekt, falls für jede Menge Φ ⊆ AL und jede Formel ψ ∈ AL gilt: falls Φ `

κ

ψ, so gilt Φ | = ψ. Ein Kalkül κ über AL heißt vollständig, falls für jede Menge Φ ⊆ AL und jede Formel ψ ∈ AL gilt: falls Φ | = ψ, so gilt Φ `

κ

ψ.

Seien S und A die beiden folgenden Kalküle über der Menge AL . Beide Kalküle enthalten für jede allgemeingültige Formel ϕ ∈ AL die Ableitungsregel

ϕ . Außerdem enthalte

- A für alle ϕ, ψ ∈ AL die Regel

ψ (ϕ → ψ)

ϕ , die Abduktion genannt wird, - S für alle ϕ, ψ, χ ∈ AL die Regel

(ϕ → ψ) (ψ → χ)

(ϕ → χ) , die Syllogismus genannt wird.

(a) Zeigen Sie, dass A vollständig, aber nicht korrekt ist.

(b) Zeigen Sie, dass S korrekt, aber nicht vollständig ist.

(c) Betrachten Sie den Kalkül K über AL , der alle Ableitungsregeln aus S und alle Ablei-

tungsregeln aus A enthält. Geben Sie an, ob K korrekt bzw. vollständig ist.

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