Goethe-Universität Frankfurt am Main 10. Dezember 2013 Institut für Informatik
Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt
Logik in der Informatik
Wintersemester 2013/14
Übungsblatt 8
Zu bearbeiten bis 19. Dezember 2013
Aufgabe 1: (25 Punkte)
Zeigen Sie, dass für die Regel
(∃A) : Γ, ϕ
yx` ψ
Γ, ∃x ϕ ` ψ falls y / ∈ frei(Γ, ∃x ϕ, ψ)
des Sequenzenkalküls S gilt: Wenn die Voraussetzung korrekt ist, dann ist die Konsequenz korrekt.
Aufgabe 2: (25 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Regel Γ, ϕ, ψ ` χ
Γ `
(ϕ ∧ ψ) → χ
im Sequenzenkalkül S ableitbar ist.
Aufgabe 3: (10 + 15 = 25 Punkte)
Betrachten Sie die Regel
(∀∃) Γ, ∃x ϕ ` ∀x ϕ
(a) Prüfen Sie, ob die Regel (∀∃) im Sequenzenkalkül S ableitbar ist.
(b) Sei S
0der Kalkül, der aus dem Sequenzenkalkül S durch Hinzufügen der Regel (∀∃) entsteht. Prüfen Sie, ob jede Sequenz in S
0ableitbar ist.
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Aufgabe 4: (11 + 9 + 5 = 25 Punkte) Eine Aussagenvariable hat die Form V
i, für ein i ∈ N . Die Menge AL der aussagenlogischen Formeln ist folgendermaßen induktiv definiert:
- V
i∈ AL , für jede Aussagenvariable V
i. - Wenn ϕ ∈ AL ist, so ist auch ¬ϕ ∈ AL .
- Wenn ϕ
1, ϕ
2∈ AL sind, so ist auch (ϕ
1→ ϕ
2) ∈ AL .
Eine Belegung ist eine Abbildung B : {V
i: i ∈ N } → {0, 1}. Der Wahrheitswert J ϕ K
B
∈ {0, 1}
von ϕ bezüglich B ist folgendermaßen definiert:
- Für i ∈ N ist J V
iK
B
= B(V
i).
- Für ψ ∈ AL ist J ¬ψ K
B
= 0, falls J ψ K
B
= 1, und J ¬ψ K
B
= 1 sonst.
- Für ψ
1, ψ
2∈ AL ist J (ψ
1→ ψ
2) K
B
= 0, falls J ψ
1K
B
= 1 und J ψ
2K
B
= 0, und J (ψ
1→ ψ
2) K
B
= 1 sonst.
Eine Formel ϕ ∈ AL ist allgemeingültig, falls J ϕ K
B
= 1 für jede Belegung B gilt. Für Φ ⊆ AL und ψ ∈ AL schreiben wir Φ | = ψ, wenn für jede Belegung B, so dass J ϕ K
B
= 1 für jedes ϕ ∈ Φ, auch J ψ K
B