Goethe-Universität Frankfurt am Main 21. November 2013 Institut für Informatik

(1)

Goethe-Universität Frankfurt am Main 21. November 2013 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2013/14

Übungsblatt 6

Zu bearbeiten bis 28. November 2013

Aufgabe 1: (7 + 9 + 9 = 25 Punkte)

Betrachten Sie die folgenden Graphen G := (V ^G , E ^G ) und H := (V ^H , E ^H ).

Graph G:

a ₁ a ₂

Graph H:

(a) Finden Sie b ₁ , b ₂ ∈ V ^H , so dass (a ₁ , a ₂ 7→ b ₁ , b ₂ ) ∈ Part(G, H).

(b) Was ist das größte m, so dass es b ₁ , b ₂ ∈ V ^H gibt mit (G, a ₁ , a ₂ ) ∼ = m (H, b ₁ , b ₂ )? Belegen Sie Ihre Aussage, indem Sie für Ihre Zahl m geeignete Elemente b ₁ , b ₂ ∈ V ^H und ein Hin- und Her-System (I _j ) _j6m : (G, a ₁ , a ₂ ) ∼ = m (H, b ₁ , b ₂ ) angeben.

(c) Beweisen Sie, dass ein größeres als das von Ihnen angegebene m nicht möglich ist.

Aufgabe 2: (11 + 14 = 25 Punkte)

Stellen Sie für jede der beiden folgenden Formeln fest, ob sie in Gaifman-Normalform ist. Be- gründen Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls eine äquivalente Formel in Gaifman- Normalform an.

(a) ϕ ₁ (x) := ∀y E(x, y)

(b) ϕ ₂ (x ₁ , x ₂ ) := ¬x ₁ =x ₂ ∧ ∀y E(x ₁ , y) ∨ E(x ₂ , y)

Aufgabe 3: (25 Punkte)

Sei M eine endliche Menge von Formeln. Entwickeln Sie einen Algorithmus, der bei Eingabe einer beliebigen Formel ϕ ∈ BC(M ) eine zu ϕ äquivalente Formel in disjunktiver Normalform ausgibt, d.h. eine Formel der Form

_

i∈I

^

j∈J

i

ψ _i,j

!

,

wobei I und (J i ) i∈I endliche Indexmengen sind und ψ i,j ∈ M ∪ {¬χ : χ ∈ M}, für alle i ∈ I und alle j ∈ J _i .

— auf der nächsten Seite geht’s weiter —

(2)

Aufgabe 4: (25 Punkte) Entwickeln Sie einen Algorithmus, der bei Eingabe von zwei Zahlen k, r ∈ N >0 und einer FO[σ]- Formel ψ(x ₁ , . . . , x _k , y), die r-lokal um x ₁ , . . . , x _k , y ist, eine FO[σ]-Formel ˜ ψ(x ₁ , . . . , x _k , y) aus- gibt, für die gilt:

(I) ˜ ψ(x ₁ , . . . , x _k , y) ist eine Boolesche Kombination von (i) Formeln, die r-lokal um x ₁ , . . . , x _k sind, und (ii) Formeln, die r-lokal um y sind,

und

(II) für alle σ-Strukturen A und alle a ₁ , . . . , a _k , b ∈ A mit Dist ^A (b, {a ₁ , . . . , a _k }) > 2r + 1 gilt:

A | = ˜ ψ[a ₁ , . . . , a _k , b] ⇐⇒ A | = ψ[a ₁ , . . . , a _k , b].

Goethe-Universität Frankfurt am Main 21. November 2013 Institut für Informatik

Goethe-Universität Frankfurt am Main 21. November 2013 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2013/14

Übungsblatt 6

Zu bearbeiten bis 28. November 2013

Aufgabe 1: (7 + 9 + 9 = 25 Punkte)

Betrachten Sie die folgenden Graphen G := (V G , E G ) und H := (V H , E H ).

Graph G:

a 1 a 2

Graph H:

(a) Finden Sie b 1 , b 2 ∈ V H , so dass (a 1 , a 2 7→ b 1 , b 2 ) ∈ Part(G, H).

(b) Was ist das größte m, so dass es b 1 , b 2 ∈ V H gibt mit (G, a 1 , a 2 ) ∼ = m (H, b 1 , b 2 )? Belegen Sie Ihre Aussage, indem Sie für Ihre Zahl m geeignete Elemente b 1 , b 2 ∈ V H und ein Hin- und Her-System (I j ) j6m : (G, a 1 , a 2 ) ∼ = m (H, b 1 , b 2 ) angeben.

(c) Beweisen Sie, dass ein größeres als das von Ihnen angegebene m nicht möglich ist.

Aufgabe 2: (11 + 14 = 25 Punkte)

Stellen Sie für jede der beiden folgenden Formeln fest, ob sie in Gaifman-Normalform ist. Be- gründen Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls eine äquivalente Formel in Gaifman- Normalform an.

(a) ϕ 1 (x) := ∀y E(x, y)

(b) ϕ 2 (x 1 , x 2 ) := ¬x 1 =x 2 ∧ ∀y E(x 1 , y) ∨ E(x 2 , y)

Aufgabe 3: (25 Punkte)

Sei M eine endliche Menge von Formeln. Entwickeln Sie einen Algorithmus, der bei Eingabe einer beliebigen Formel ϕ ∈ BC(M ) eine zu ϕ äquivalente Formel in disjunktiver Normalform ausgibt, d.h. eine Formel der Form

_

i∈I

^

j∈J

ψ i,j

!

,

wobei I und (J i ) i∈I endliche Indexmengen sind und ψ i,j ∈ M ∪ {¬χ : χ ∈ M}, für alle i ∈ I und alle j ∈ J i .

— auf der nächsten Seite geht’s weiter —

Aufgabe 4: (25 Punkte) Entwickeln Sie einen Algorithmus, der bei Eingabe von zwei Zahlen k, r ∈ N >0 und einer FO[σ]- Formel ψ(x 1 , . . . , x k , y), die r-lokal um x 1 , . . . , x k , y ist, eine FO[σ]-Formel ˜ ψ(x 1 , . . . , x k , y) aus- gibt, für die gilt:

(I) ˜ ψ(x 1 , . . . , x k , y) ist eine Boolesche Kombination von (i) Formeln, die r-lokal um x 1 , . . . , x k sind, und (ii) Formeln, die r-lokal um y sind,

und

(II) für alle σ-Strukturen A und alle a 1 , . . . , a k , b ∈ A mit Dist A (b, {a 1 , . . . , a k }) > 2r + 1 gilt:

A | = ˜ ψ[a 1 , . . . , a k , b] ⇐⇒ A | = ψ[a 1 , . . . , a k , b].

Betrachten Sie die folgenden Graphen G := (V ^G , E ^G ) und H := (V ^H , E ^H ).

a ₁ a ₂

(a) Finden Sie b ₁ , b ₂ ∈ V ^H , so dass (a ₁ , a ₂ 7→ b ₁ , b ₂ ) ∈ Part(G, H).

(a) ϕ ₁ (x) := ∀y E(x, y)

(b) ϕ ₂ (x ₁ , x ₂ ) := ¬x ₁ =x ₂ ∧ ∀y E(x ₁ , y) ∨ E(x ₂ , y)

ψ _i,j

wobei I und (J i ) i∈I endliche Indexmengen sind und ψ i,j ∈ M ∪ {¬χ : χ ∈ M}, für alle i ∈ I und alle j ∈ J _i .

Aufgabe 4: (25 Punkte) Entwickeln Sie einen Algorithmus, der bei Eingabe von zwei Zahlen k, r ∈ N >0 und einer FO[σ]- Formel ψ(x ₁ , . . . , x _k , y), die r-lokal um x ₁ , . . . , x _k , y ist, eine FO[σ]-Formel ˜ ψ(x ₁ , . . . , x _k , y) aus- gibt, für die gilt:

(I) ˜ ψ(x ₁ , . . . , x _k , y) ist eine Boolesche Kombination von (i) Formeln, die r-lokal um x ₁ , . . . , x _k sind, und (ii) Formeln, die r-lokal um y sind,

(II) für alle σ-Strukturen A und alle a ₁ , . . . , a _k , b ∈ A mit Dist ^A (b, {a ₁ , . . . , a _k }) > 2r + 1 gilt:

A | = ˜ ψ[a ₁ , . . . , a _k , b] ⇐⇒ A | = ψ[a ₁ , . . . , a _k , b].