Logik in der Informatik

Goethe-Universität Frankfurt am Main 17. November 2011 Institut für Informatik

Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt

Logik in der Informatik

Wintersemester 2011 / 2012

Übungsblatt 4

Zu bearbeiten bis Donnerstag, 24. November 2011

Aufgabe 1: (20 Punkte)

Seiσ:={P, Q}für einstellige RelationssymbolePundQ. Fürk, `∈N>1seiAk,`eineσ-Struktur mit UniversumAk,`=P<sup>Ak,`</sup>∪Q^{Ak,`</sup>, wobeiP<sup>Ak,`}∩Q^{Ak,`</sup>=∅, |P<sup>Ak,`}|=kund|Q<sup>Ak,`</sup>|=`ist.

Zeigen Sie, dassAk₀,`<sub>0</sub> ≡mAk<sub>1</sub>,`₁genau dann gilt, wenn

(k0=k1 oder k0, k1>m) und (`0=`1 oder `0, `1>m).

Aufgabe 2: (10+10+10 Punkte)

(a) SeiRGraphsdie Klasse aller endlichen GraphenG= (V, E^G, s^G, t^G)mits^G, t^G∈V. Sei Reachdie Klasse allerG∈RGraphs, in denen es einen Weg vom Knotens^Gzum Knoten t^Ggibt.

Verwenden Sie die Methode der logischen Reduktionen, um Folgendes zu zeigen:

Reachist nicht FO-definierbar inRGraphs.

(b) SeiHamdie Klasse aller endlichen Graphen, die einen Hamiltonkreis enthalten. Zeigen Sie:

Hamist nicht FO-definierbar in der KlasseGraphsaller endlichen Graphen.

Zur Erinnerung: Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten genau einmal durchläuft.

(c) Sei σ = {6, Pa, Pb} wie in Aufgabe 4 auf Blatt 1 gewählt. Beweisen sie, dass es keinen FO[σ]-Satz gibt, der die Sprache aller Worte aus{a, b}^∗beschreibt, in denen die Anzahl der in ihnen vorkommendenas gerade ist.

Aufgabe 3: (13+12 Punkte)

Seiσeine funktionenfreie Signatur und seienAundBzweiσ-Strukturen.

• Die StrukturA×Bist dieσ-Struktur mit UniversumA×B, Konstantenc^A×B:= (c^A, c^B) (f.a. Konstantensymbolec∈σ) und Relationen

R^A×B := { (a1, b1), . . . ,(ar, br)

: (a1, . . . , ar)∈R^Aund(b1, . . . , br)∈R^B} (f.a. RelationssymboleR∈σmitr:=ar(R)).

• Fallsσkein Konstantensymbol enthält undAundBdisjunkt sind, so istAtBdieσ-Struktur mit UniversumA∪Bund RelationenR^AtB:=R^A∪R^B(f.a.R∈σ).

— auf der nächsten Seite geht’s weiter —

Es seim∈N, undA1,A2,B1,B2seienσ-Strukturen.

Nutzen Sie die EF-Spiel-Charakterisierung von≡m, um Folgendes zu zeigen:

(a) FallsA1≡mB1undA2≡mB2, so auchA1×A2≡mB1×B2.

(b) Fallsσkein Konstantensymbol enthält undA1∩A2=∅undB1∩B2=∅ist, so gilt:

FallsA1≡mB1undA2≡mB2, so auchA1tA2≡mB1tB2.

Aufgabe 4: (25 Punkte)

Seiσ := {Sv, S_h} mit zwei 2-stelligen RelationssymbolenS_v und S_h. Für k, ` ∈ N>1 ist das (k×`)-GitterG<sub>k,`</sub>dieσ-Struktur mit Universum{1, . . . , k} × {1, . . . , `}und Relationen

Sv^Gk,` :=

(i, j),(i+1, j)

: 16i < k, 16j6` , S<sub>h</sub><sup>Gk,`</sup> :=

(i, j),(i, j+1)

: 16i6k, 16j < ` . Zeigen Sie, dass es keinen FO[σ]-Satzϕgibt, so dass für allek, `∈N>1gilt:

Gk,`|=ϕ ⇐⇒ k=`.

Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 3.