Goethe-Universität Frankfurt am Main 15. Dezember 2011 Institut für Informatik
Theorie komplexer Systeme Prof. Dr. Nicole Schweikardt
Logik in der Informatik
Wintersemester 2011 / 2012
Übungsblatt 8
Zu bearbeiten bis Donnerstag, 22. Dezember 2011
Aufgabe 1: (25 Punkte)
Zeigen Sie, dass für die Regel
(∃A) : Γ, ϕyx ` ψ
Γ,∃x ϕ ` ψ fallsy /∈frei(Γ,∃x ϕ, ψ)
des SequenzenkalkülsS gilt: Wenn die Voraussetzung korrekt ist, dann ist die Konsequenz korrekt.
Aufgabe 2: (25 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Regel Γ, ϕ, ψ ` χ
Γ ` (ϕ∧ψ)→χ im SequenzenkalkülS ableitbar ist.
Aufgabe 3: (25 Punkte)
SeiM eine Menge und seiKein Kalkül überM. Im Folgenden notieren wir Ableitungsregeln über M der Form
a1 ... an
b als a1· · ·an
b .
Definition:
(a) Eine Ableitungsregel a1· · ·an
b überMheißtinKableitbar, wennbaus{a1, . . . , an} inKableitbar ist.
(b) Zwei KalküleK1undK2überM heißengleich stark, wenn für alleV ⊆M gilt:
Die Menge der ausV inK1ableitbaren Elemente ist gleich der Menge der ausV inK2ableitbaren Elemente.
Zeigen Sie, dass für allen∈Nund allea1, . . . , an, b∈Mgilt:
a1· · ·an
b ist genau dann inKableitbar, wennKundK ∪na1. . . an
b o
gleich stark sind.
Aufgabe 4: (25 Punkte)
Betrachten Sie die Regel
(∀∃) Γ, ∃x ϕ ` ∀x ϕ
(a) Prüfen Sie, ob die Regel(∀∃)im SequenzenkalkülS ableitbar ist.
(b) SeiS0der Kalkül, der aus dem SequenzenkalkülS durch Hinzufügen der Regel(∀∃)ent- steht. Prüfen Sie, ob jede Sequenz inS0ableitbar ist.
