Atome : Aussagenvariablen

(1)

Was bisher geschah

Modellierung von Aussagen in (klassischer) Aussagenlogik Syntax:

I

Atome : Aussagenvariablen

I

Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔

I

induktive Definitionen von Formelmengen: AL(P ), AL

_J

(P)

I

Baumstruktur von Formeln

I

Beweise durch strukturelle Induktion

I

Junktorbasen

I

¨ aquivalente Umformungen Semantik:

I

Belegungen der Aussagenvariablen

I

Wahrheitswerte von Formeln unter Belegungen

I

Modelle von Formeln und Formelmengen

I

Modellmenge und WW-Tabelle von Formeln und Formelmengen

I

erf¨ ullbare, allgemeing¨ ultige Formeln

I

semantische ¨ Aquivalenz von Formeln

(2)

Modellierungsbeispiel Taxi

umgangssprachlicheBeschreibung derSituation:

Wenn der Zug zu spät kommt und kein Taxi am Bahnhof steht, ist Tom nicht pünktlich. Der Zug kam zu spät und Tom ist pünktlich.

Frage: Stand ein Taxi am Bahnhof?

formaleBeschreibung:

I elementare Aussagen (Atome):P={p,t,z}

p – Tom ist p¨unktlich,t – Taxi steht da,z – Zug hat Versp¨atung I Beschreibung der Situation (Kontext) als Formelmenge:

Φ ={(z∧ ¬t)→ ¬p,z∧p}

I Modellierung der Frage alsBehauptung :t (positive Antwort auf die Frage)

Alle m¨oglichen Situationen, in denen alle Angaben erf¨ullt sind:

Mod(Φ) =. . .

Antwort auf die Frage: ja,

weil f¨ur jede BelegungW ∈Mod(Φ) giltW(t) = 1, alsoMod(Φ)⊆Mod(t)

(3)

Semantisches Folgern

Definition

F¨ur jede Formelmenge Φ⊆AL(P) (Kontext) und jede Formelψ∈AL(P) (Behauptung) heißt

ψgenau dannsemantische Folgerungaus Φ wenn Mod(Φ)⊆Mod(ψ).

Notation: Φ|=ψ (ψfolgt (semantisch) aus Φ ) Beispiele:

I {p,p→q}|=qgilt, weil

Mod({p,p→q}) ={W₁₁}⊆{W₀₁,W₁₁}=Mod(q), I {p,¬(q∧p)} |=¬q, weil . . .

I {p} |=q→p, weil . . . I ∅ |=p∨ ¬p, weil . . . Notation f¨ur Spezialf¨alle

f¨ur Φ ={ϕ} : ϕ |= ψ (statt {ϕ} |= ψ) f¨ur Φ =∅ : |= ψ (statt ∅ |= ψ)

59

(4)

S¨ atze ¨ uber das Folgern

Satz

F¨ur jede endliche FormelmengeΦ ={ϕ₁, . . . , ϕ_n} ⊆AL(P)gilt

Φ|=ψ genau dann, wenn

n

^

i=1

ϕ_i |=ψ

Satz

F¨ur jede FormelmengeΦ⊆AL(P)und jede Formelψ∈AL(P)gilt Φ|=ψgenau dann, wennΦ∪ {¬ψ} unerf¨ullbarist.

Satz

F¨ur jede Formelψ∈AL(P)gilt|=ψgenau dann, wennψallgemeing¨ultig.

Satz

F¨ur je zwei beliebige Formelnϕ, ψ∈AL(P)giltϕ≡ψgenau dann, wenn 1. ϕ|=ψundψ|=ϕgilt,

2. die Formelϕ↔ψallgemeing¨ultig ist. ( ¨UA)

(5)

Typische praktische Folgerungsprobleme

I kombinatorische Probleme, z.B. Planungsprobleme (Registerzuweisung, Zeitplanung), Graphf¨arbung I Verifikation digitaler Schaltungen:

gegeben: Schaltung:

(Ausgabe-Verhalten als boolesche Funktion, Formelϕ) Spezifikation (logische Formelψ)

Frage: Erf¨ullt die Schaltung die Spezifikation? (Giltϕ|=ψ?) Gegenbeispiel bei negativer Antwort:

BelegungW :P→ {0,1}mitW(ϕ∧ ¬ψ) = 1 I Verifikation von Programmen:

gegeben: Programm (Ausgabe-Verhalten als Formelmenge Φ) Spezifikation (logische Formelψ)

Frage: Erf¨ullt das Programm die Spezifikation? (Gilt Φ|=ψ?) Gegenbeispiel bei negativer Antwort:

BelegungW :P→ {0,1}mitW ∈Mod(Φ∪ {¬ψ})

61

(6)

WH: Wichtige ¨ Aquivalenzen

F¨ur alle aussagenlogischen Formelnϕ, ψ, ηgilt:

I ϕ∨ϕ≡ϕ, ϕ∧ϕ≡ϕ, ϕ∨f ≡ϕ, ϕ∧t≡ϕ I ϕ∨ψ≡ψ∨ϕ, ϕ∧ψ≡ψ∧ϕ

(Kommutativit¨at von∧und∨) I ϕ∨(ψ∨η)≡(ϕ∨ψ)∨η

ϕ∧(ψ∧η)≡(ϕ∧ψ)∧η (Assoziativit¨at von∧und∨) I ϕ∧(ψ∨η)≡(ϕ∧ψ)∨(ϕ∧η)

ϕ∨(ψ∧η)≡(ϕ∨ψ)∧(ϕ∨η) (Distributivgesetze)

I ¬¬ϕ≡ϕ(Doppelnegation)

I ¬(ϕ∨ψ)≡ ¬ϕ∧ ¬ψ, ¬(ϕ∧ψ)≡ ¬ϕ∨ ¬ψ (DeMorgansche Regeln)

I ϕ∨ψ≡ ¬(¬ϕ∧ ¬ψ), ϕ∧ψ≡ ¬(¬ϕ∨ ¬ψ) (Dualit¨at von∧und∨)

I ϕ→ψ≡ ¬ψ→ ¬ϕ(Kontraposition)

I ϕ↔ψ≡(ϕ→ψ)∧(ψ→ϕ)≡(ϕ∧ψ)∨(¬ϕ∧ ¬ψ) I (ϕ∧ψ)∨(¬ϕ∧ψ)≡ψ (Fallunterscheidung)

(7)

WH: Umformen von Formeln

Nebenwirkung der (induktiven) Beweise zur

Junktorbasis-Eigenschaft von z.B. {¬, ∨, ∧}, {¬, →}, {→,

f

}:

Fakt:

Jede aussagenlogische Formel kann schrittweise durch Ersetzung

¨ aquivalenter Teilformeln in semantisch ¨ aquivalente Formeln umgeformt werden.

(¨ Anderung der Syntax bei unver¨ anderter Semantik) Beispiel (Baumdarstellung Tafel):

¬(p → q)

^{(ϕ→ψ≡¬ϕ∨ψ)}

≡ ¬(¬p ∨ q )

(deMorgan)

≡ ¬¬p ∧ ¬q

(¬¬ϕ≡ϕ)

≡ p ∧ ¬q

(8)

Normalformen aussagenlogischer Formeln

spezielle aussagenlogische Formeln:

Atom

Aussagenvariable

Literal

Atom oder negiertes Atom

Klausel

Disjunktion von Literalen Normalformen:

NNF

Formeln, in denen das Negationssymbol ¬ h¨ ochstens auf Atome angewendet wird, heißen in

Negations-Normalform.

Beispiel: ¬p ∨ ((¬q ∨ p) ∧ q ), ¬p, p

CNF

Formeln der Form

V_n

i=1

Wmi

j=1

l

i,j

mit Literalen l

_i_,j

heißen in konjunktiver Normalform.

(Konjunktion von Klauseln)

Beispiel: (¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) ∧ ¬q, p ∨ q, p ∧ ¬q, ¬p

DNF

Formeln der Form

W_n

i=1

Vmi

j=1

l

i,j

mit Literalen l

_i_,j

heißen in disjunktiver Normalform.

Beispiel: ¬p ∨ (¬q ∧ p ) ∨ (p ∧ q), p ∨ q , p ∧ ¬q, ¬p

(9)

Satz ¨ uber Normalformen

Satz

Zu jeder Formel

ϕ

∈ AL(P ) existieren

I

eine ¨ aquivalente Formel

ψ

∈ AL(P ) in NNF,

I

eine ¨ aquivalente Formel

ψ⁰

∈ AL(P ) in CNF und

I

eine ¨ aquivalente Formel

ψ⁰⁰

∈ AL(P ) in DNF.

Transformation beliebiger Formeln in Normalformen:

1.

schon gezeigt: {∨, ∧, ¬} ist eine Junktorbasis, d.h.

Jede Formeln aus AL(P ) l¨ asst sich schrittweise in ¨ aquivalente Formeln mit ausschließlich den Junktoren ∨, ∧, ¬ umformen

2.

Konstruktion einer NNF durch (ggf. mehrmalige) Anwendung

der deMorganschen Regeln

3.

Konstruktion der CNF oder DNF durch (ggf. mehrmalige) Anwendung der Distributivgesetze auf die NNF

Beispiel (Tafel): p ↔ q

63

(10)

Normalformen – Beispiel

(a → b) → c

^{(ϕ→ψ≡¬ϕ∨ψ)}

≡ (¬a ∨ b) → c

(ϕ→ψ≡¬ϕ∨ψ)

≡ ¬(¬a ∨ b) ∨ c

(deMorgan)

≡ (¬¬a ∧ ¬b) ∨ c

(¬¬ϕ≡ϕ)

≡ (a ∧ ¬b) ∨ c (NNF, DNF)

(Distributivit¨at)