und damit σimp = 24.11

Hochschule RheinMain SS 2020 Prof. Dr. D. Lehmann

L¨osungen 9. ¨Ubungsblatt Finanzmathematik II

1.Aufgabe: Nach Theorem 13.5 aus der Vorlesung gilt E_W

e^R0Tσtdxt

= E_Wh F RT

0 σ_tdx_ti

= Z

R

F σ_imp,T√ T x

e^−x

2 2 √dx

2π

mit

F(y) = e^y . Wir ben¨otigen die Gr¨osse

σ_imp = n1

T

RT 0 σ²_tdt

o1/2

Es ist

RT

0 σ_t²dt = (30%)²×0.5 + (25%)² ×(1−0.5) + (20%)²×(2−1)

= 0.045 + 0.03125 + 0.04 = 0.11625 und damit

σ_imp = 24.11% . Damit erhalten wir:

E_W

e^R0Tσtdxt

= Z

R

e^σimp

√ T x e^−x

2 2 √dx

2π = e

σ2 imp

2 T .

2.Aufgabe: a) Man kann die Standard Black-Scholes Formeln benutzen, nur muss man die Volatilit¨at σ durch die implizite Volatilit¨at ersetzen. Die hatten wir schon in Aufgabe 1 berechnet mit dem Resultat σ_imp = 24.11%. Als Preis bekommt man dann 21.55, siehe das Excelsheet.

b)Ein Put in ‘absolute amount’ mit payoff

H_put,abs(S_T) = max{K−S_T,0}

hat im zeitunabh¨angigen Black-Scholes Modell den Preis

V_put,abs = −S₀N(−d₊) +Ke^−rTN(−d−)

mit

d± = log[S₀/K] + (r±σ²/2)T σ√

T Der Payoff eines performance-type Puts ist gegeben durch

H_put,perf(S_T) = max{k−S_T/S₀,0}

= _S¹

0 ×max{kS₀−S_T,0}

Also haben wir

Vput,perf = _S¹

0 ×

−S0N(−d+) + kS0e^−rTN(−d−)

= −N(−d+) + k e^−rTN(−d−) mit

d± = log[S0/(kS0)] + (r±σ²/2)T σ√

T

= log[1/k] + (r±σ²/2)T σ√

T

Da wir hier das zeitabh¨angige Black-Scholes Modell haben, m¨ussen wir das σ durch die Volatilit¨at

σ_imp = n

1 T

RT

0 σ²_tdto1/2

ersetzen. Wir haben wie in Aufgabe 1 RT

0 σ_t²dt = (30%)²×0.5 + (25%)² ×(1−0.5) + (20%)²×(2−1)

= 0.045 + 0.03125 + 0.04 = 0.11625 und damit

σ_imp = 24.11%

Also

d± = log[1/80%] + (3%±(24.11%)²/2)2 24.11%√

2 und damit

d₁ = 1.001 d₂ = 0.660

N(−d1) = 0.1584 N(−d₂) = 0.2546

und

V_put,perf = −0.1584 + 0.8e^−0.06×0.2546 = 3.3414%.

3.Aufgabe: Wir w¨ahlen eine st¨uckweise konstante instantane Volatilit¨at σt mit:

σ_t =











σ₁ falls t∈[0,0.25]

σ₂ falls t∈(0.25,0.5]

σ₃ falls t∈(0.5,1]

σ₄ falls t∈(1,2]

und erhalten mit der Notationt₀ := 0 und

{t₁, t₂, t₃, t₄} := {0.25,0.5,1,2}

ti×σ_imp² (ti) = Rti

0 σ²_t dt woraus sich

t_i σ²_imp(t_i) − ti−1 σ_imp² (ti−1) = Rti

ti−1σ²_tdt = σ_i²×(t_i−ti−1)

⇔ σ²_i = t_i σ_imp² (t_i) − ti−1 σ²_imp(ti−1) t_i−ti−1

ergibt. Also

σ₁² = t₁σ_imp² (t₁) − 0

t₁−0 = σ_imp² (t₁) σ₂² = 0.5×(21%)² − 0.25×(25%)²

0.5−0.25

σ₃² = 1×(19%)² − 0.5×(21%)² 1−0.5

σ₄² = 2×(20%)² − 1×(19%)² 2−1

und damit

σ₁ = 25.00%

σ₂ = 16.03%

σ₃ = 16.76%

σ₄ = 20.95%.