Übungsblatt zur Analysis I Aufgabe 61: Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionenf(x) =eex,g(x

Universität Tübingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 08.01.2014

11. Übungsblatt zur Analysis I

Aufgabe 61: Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionenf(x) =e^ex,g(x) = (e^e)^x,h(x) = 2x²e^xsinx, u(x) =e^cosx,v(x) = cos(ln(tan(p

(x²+ 1)))) undw(x) =x^x.

Aufgabe 62: Untersuchen Sie, wo die folgenden Funktionen differenzierbar nachxsind, und berechnen Sie die Ableitungen, wenn diese existieren:

|x|, ln|x|, A·e^−ktsin(ωt), x^1/3, xsin1 x. Betrachten Sie dann die Funktionf :R→Rmit

f(x) =

x+x²cos^π_x für x6= 0

0 fürx= 0.

Zeigen Sie, daßf differenzierbar aufRist und berechnen Sie die Ableitungf⁰. Istf⁰ stetig oder differenzier- bar?

Aufgabe 63: Für welchep∈Rist die Funktionf :R→Rmitf(x) = ln(1 +x²)−pxmonoton steigend auf R?

Aufgabe 64: Seien f, g: [a, b]→R stetige, auf(a, b) differenzierbare Funktionen mitf(a) ≥g(a) und f⁰ ≥g⁰ auf(a, b). Zeigen Sie, daß dann f ≥g auf [a, b].

Beweisen Sie damit die Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung auf reelle Exponenten:

(1 +x)^α≥1 +αx für α≥1 undx≥ −1.

Aufgabe 65: Seiena, b∈Rmita < b undf, g: [a, b]→Rstetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a, b), mit g(x)6= 0 undg⁰(x)6= 0für alle x∈(a, b). Zeigen Sie:

Wenn ^f(a)_g(a) = ^f_g(b)^(b), dann gibt es einc∈(a, b)mit ^f(c)_g(c) = ^f_g0⁰(c)^(c).

Aufgabe 66: Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls sie existieren:

x→∞lim xⁿ

e^x , lim

x→0

tanx

x , lim

x→^π₂(x−π

2) tanx , lim

x→∞

sinx x .

Abgabe in der Vorlesungspause am 13.01.2014.

Besprechung in den Übungen vom 15.01.-17.01.2014.