Vorlesungsmitschriften der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie von Prof. Große-Kl¨onne Wintersemester 2008/2009

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Vorlesungsmitschriften der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie

von Prof. Große-Kl¨onne Wintersemester 2008/2009

Paul Wilhelm 21. Februar 2009

Bis jetzt wurde das Skript in keinsterweise Korrekturgelesen, weder vom Prof. noch von mir,

ich kann also eine Garantie auf Fehler geben...

Uber Hinweise auf Fehler w¨¨ urd ich mich sehr freuen, bitte an: wilhelm at math.hu-berlin.de

Inhaltsverzeichnis

1 Gauß’sche Zahlen 2

1.1 Anwendung: Ein diophantisches Problem . . . 3 1.2 Anwendung: Primzahlzerlegung in Z i. . . 4

2 Ganze Ringerweiterungen 5

3 Dedekindringe 8

4 Endlichkeit des ganzen Abschlusses 12

5 Lokalisierungen 16

6 Erweiterungen von Dedekindringen 18

7 Gitter 23

8 Die Klassenzahl 24

9 Der Dirichlet’sche Einheitensatz 29

10 Kreisteilungsk¨orper 32

11 Zerlegungs- und Tr¨agheitsgruppen 37

12 Vollst¨andige Ringe 43

13 Lokale K¨orper 48

14 Die Einheitengruppe lokaler K¨orper 53

15 Lokal-Global Prinzipien 54

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2008-10-13 Die VorlesungAlgebraische Zahlentheoriebehandelt die Theorie der endlichen K¨orpererweiterungen von Qden sogenanntenZahlenk¨orper

Im Sommersemester 2009 schließen an diese Vorlesung die folgenden Vorlesungen an:

Klassenk¨orpertheorie von Prof. Zink und

im n¨achsten Wintersemester eine Vorlesung ¨uber ein noch nicht feststehendes aktuelles Thema der Zah- lentheorie von Prof. Nizeol

Literatur:

Neukirch, J¨urgen:Algebraische Zahlentheorie.Springer, 2006,

im HU-Netz verfügbar unter: http://www.springerlink.com/content/u17648/ . Notiz (weitere im HU-Netz verfügbare Bücher, die vieleicht hilfreich sein könnten).

Schmidt, Alexander:Einf¨uhrung in die algebraische Zahlentheorie.Springer, 2007, im HU-Netz verf¨ugbar unter: http://www.springerlink.com/content/u6v965/ .

M¨uller-Stach, Stefan und Piontkowski, Jens:Elementare und algebraische Zahlentheorie.Vieweg, 2006, im HU-Netz verf¨ugbar unter: http://www.springerlink.com/content/v35553/ .

Jantzen und Schwermer:Algebra. Springer, 2005,

im HU-Netz verf¨ugbar unter: http://www.springerlink.com/content/g635q4/ .

Pr¨ ufungstermine

Pr¨ufungstermin(/Anmeldung bis):

02.02.2009 (19.02.2009) 05.02.2009 (22.01.2009) 06.02.2009 (23.01.2009)

1 Gauß’sche Zahlen

In der Vorlesung ist mit Ring immer ein kommutativer Ring mit 1 gemeint.

Definition 1.1(Einheitengruppe). SeiRein Ring.R a>R S §b>Ra 1ist die Gruppe der Einheiten inR

Definition 1.2 (irreduzibel, prim). SeiR ein Ring.

ax0>R heißtirreduzibel, fallsa¶R und falls ¦x, y>R mita xyx>R-y>R

Ein Element heißtPrimelement, fallsa¶R undt, y>Rmit aSx y Ô aSx-aSy. Wobei zuu, v>Rgilt uSv §w>R v wu.

Zwei Elementea, b>Rheißen assoziiert (in Zeichen:ab), falls§x>Rb ax. Dies ist eine Aquivalenz- relation.

Definition 1.3 (faktoriell). Ein RingRheißtfaktoriell, falls:

(i) R ist integer (nullteilerfrei:ab 0 a 0-b 0)

(ii) ¦a>R0 mita¶R existieren irreduzible Elementex1, . . . , xn mita x1 . . . xn (endliches Produkt!).

(iii) Die Zerlegung vona in (ii) ist eindeutig bis auf Assoziiertheit der irreduziblen Faktoren und ihre Anord- nung. Das heißt, f¨ur eine zweite Zerlegunga x₁ . . . x_mgiltn mund nach eventueller Umnummerierung xix_i ¦i 1, . . . .n.

Definition 1.4 (euklidischer Ring). Ein Intigrit¨atsring R heißt euklidischer Ring, falls eine Abbildung N R Ð Z_C0existiert mit N0 0 mit: ¦a, b>Rundax0 §q, r>R b aqrundNr @Na

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Beispiel. R ZmitNa SaS

Lemma (1.0). SeiRein Intigrit¨atsring. Dann gilt:

(i) Primelemente sind irreduzibel.

(ii) IstR faktoriell, so ist jedes irreduzible Element auch ein Primelement.

(iii) Euklidische Ringe sind Hauptidealringe.

(iv) Hauptidealringe sind faktoriell.

(v) Zist faktoriell.

Definition 1.5 ( Gauß’sche Zahlen). Zi abi S a, b>Z b C (Teilring) ist der Ring der Gauß’schen Zahlen(wobeii º

1. Die NormfunktionNZ i Ð Z_C0 ist gegeben durchSaibS² SaibS² a²b² Lemma 1.1. Z iist ein euklidischer Ring.

Beweis : Seienx, y>Z imityx0.

W¨ahleq>Z imitS^x_y qS B S^x_yqS ¦q>Z i(qist ein dem Punkt ^x_y >Zn¨achstgelegener Punkt)

entnommen aus ”M¨uller-Stach; Piontkowski:Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg Verlag 2006. S. 7”

Daf¨ur giltS^x_y qS B ^º₂² (Elementargeometrie) Sei nunr xqy, dann gilt:

Nr Nxqy SxqyS2 Sy^x_yqS² SyS²S^x_y qS²B ¹₂SyS² ¹₂Ny @Ny Lemma 1.2. Z i 1,i undZ i N¹1.

Beweis : Seix abieine Einheit §y cdi(mitc, d>Z), so dassxy abicdi 1 Nabicdimultiplikativ

NabiNcdi a²b²c²d² ⁱⁿ^Z1 N1

Daa²b²C0 undc²d²C0 folgt daraus:

a²b² 1 undc²d² 1 a, b > 1,0,0,1 ? c, d

Der letzte Schritt zeigtZ i N¹1. Wir sehen die N¨utzlichkeit der Normfunktion!

1.1 Anwendung: Ein diophantisches Problem

Bestimme allex, y>Zmitx³y² 1

Satz 1.3. x, y 1,0ist die einzige L¨osung.

Beweis : Seix, yeine L¨osung.

1. Schritt:xis ungerade,yist gerade:

W¨are xgerade 2Sx 8Sx³ x³0 mod 8 y² 1 mod 8

ⁱⁿ^Z~8Z^ist1 kein Quadrat 2. Schritt:yiundyisind relativ prim inZ idas heißt:

Istα>Z imitαSy1 α>Zi (relativ prim: haben keinen gemeinsamen Primfaktor) Angenommen α¶Z i

Aus αSyi αSyi yir 2i 1i². Aber 1iist irreduzibel inZ i, dennN1i 2 ist irreduzibel inZ

Bemerkung. Ist 1i uv in Z i N1i NuNv in Z O.b.d.A: Nu 1 also u> Zi (Lemma 1.2)

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daαS1i² gilt (Z ifaktoriell ) undα¶Z i folgt1iSα

1iSαundαSyiyi^ausrechnenx³. DaZ ifaktoriell ist folgt1iSx x β1i β>Z i

Dies ergibt: ββ1¯ i1i x¯x x² 2ββ¯ x² 2Sx² aberxist ungerade

3. Schritt: Aus 2. Schritt und yiyi y³ ergibt sich yi, yisind von der Formuβ mit u>Z i. Aber Z i 1,i 1³,i³ O.b.d.Au x. Es existieren alsoa, b>Zmit yi abi³ Das heißt

yi a³2a²bi3ab²b³i

a³3ab² 3a²bb³i damit: y a³3ab² und 1 3a²bb³ b3a²b²

Dies impliziert b 1

W¨are b 1 1 3a²1 3a² 2

^da^a^>^Z

b 1 also 1 3a²1 a 0 Damity 0. Folglichx 1.

Bemerkung. Dies ist ein Spezialfall der Catalanschen Vermutungvon 1844:

Zum, nC2>Nhatxⁿyⁿ 1 mitx, y>Nhat keine Lösung außer 3²2³ 1 2002 gelöst von von Preda Mih˘alescu (Klassenkörprtheorem)

Bemerkung. x³y² 1 beschreibt eineeliptische Kurve Fermat’s letzter Satzt:

xⁿyⁿ zⁿ hat fürnCkeine Lösung inZ( für Beweis in Erweiterungskörber vonQgehen)

1.2 Anwendung: Primzahlzerlegung in Z i

2008-10-15 Seip>Zeine Primzahl. Wir fragen nach der Primfaktorzerlegung von p>Z i

Satz 1.4.

(i) α i1i² mit1iist irreduzibel inZ i (ii) giltp3 mod 4, so ispauch inZiirreduzibel

(iii) giltp1 mod 4, dann existiert ein irreduzibles Elementπ>Zi, mit ¯πauch irreduzibel, so dassp π¯π Beweis :

(i) Wir sahen schon1iis irreduzibel

Bemerkung ( zu i und ii). Aus Np p² und der Multiplikativit¨at vonN folgt:

Istπ>Z iirreduzibel mitπ~p, soNπ > p, p²

GiltNπ p² πp(wegen 1.2), also auchpinZ iirreduzibel.

GiltNπ p Np~π px1 p~π¶ 1,ialsopist irreduzibel inZ i (ii) p3 mod 4

GiltNabi p, so a²b² p3 mod 4

0 und 1 sind die einzigen Quadrate mod 4 Nπ p² f¨ur jeden Primfaktorπvonp(Gem¨aß der Vorbemerkung)

pist irreduzibel

(iii) Giltp1 mod 4 so existiert einn>Z:pSn²1 ( ¨Ubungsaufgabe) pSn²1 nini

Annahme:pw¨are irreduzibel inZ i pprim pSnioderpSni pSniundpSni

(dani niundpabi ni pabi ni) 4

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pS ni ni 2nin Zi pS2nin Z

da p ungerade Primzahl ist

pSn

^zu^p^Sⁿ²¹

pist irreduzibel

Sei nunπein Primfaktor vonp, dann ist auchπein Primfaktor vonp

Gem¨aß Vorbemerkung

Nπ p Nπ pπ π

Da aberpA0 undππA0 folgt genauerp ππ (ebenfalls mit 1.2)

Korollar 1.5 (S). eipeine ungerade Primzahl, dann existierena, b>Z imit p a²b² p1 mod 4 Wir sahen:

Die zentrale Bedeutung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von Elementen vonZiin Produkte von Primele- menten.

Viele vergleichbare wichtigeZahlringein endlichen K¨orpererweiterungen vonQsind aber nichtfaktorielll.

Programm:

1. Wir studieren eine Verallgemeinerung (die inZahlringenstets gilt):

Eindeutige Zerlegung von von Idealenals Produkte von Primidealen 2. Wir studieren die Differenzzwischen Elementen und Idealen:

Idealklassengruppen und Einheitengruppe

2 Ganze Ringerweiterungen

SeiR ein Ring

Definition 2.1(R-Modul, endlich erzeugt, frei vom Rang r). EinR-Modulist eine abelsche Gruppe M zusam- men mit einem Ringmorphismus

R Ð EndM

M heißtendlich erzeugt, fallsm1, . . . mr>M existieren, so dass jedesm>M in der Formm a1m1 armr

mitai>R geschrieben werden kann.

Gilt ¦a1. . . ar, dass aus 0 a1m1 armr stetsa1 ar 0 folgt, so heißt M frei vom Rang r Beispiele.

1. IstR ein K¨orper, so sind R-Module R-Vektorr¨aume Dabei:

endlich erzeugt = endlich dimensional frei vom Rang r = r-dimensional 2. Jedes Ideal inRist ein R-Modul 3. M ist frei vom Rang r M R^r

4. Ist R Ð^α S ein Ringmorphismus (’S ist eine R-Algebra’) und M ein S-Modul, so is M in nat¨urlicher Weise (viaα) ein R-Modul.

Lemma 2.1. SeiR`S eine Ringerweiterung derart, dass S als R-Modul endlich erzeugt ist.

Sei M ein endlich erzeugter S-Modul, dann ist M auch als R-Modul endlich erzeugt.

Beweis : Seienx1. . . xm>M Erzeuger von M als S-Modul und seieny1. . . yn>S Erzeuger von S als R-Modul.

Dann istyixj S 1BiBn,1BjBm ein Erzeugendensystem f¨ur M ¨uber R, denn:

Seim>M §s1. . . sm>S m P

j sjxj zu densj existierenrij >R P

j rijyj sj

m P

ijrijyixj

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Definition 2.2 (Ganz ¨uber R). vgl. Def Algebraisch

SeiR`S eine Ringerweiterung undy>S. Sei R yder kleinste Teilring von S, der R und y enth¨alt.

y heißt ganz ¨uber R, fallsR yals R-Modul endlich erzeugt ist.

S heißt ganz über R, falls alle Elemente in S ganz über R sind Satz 2.2. Folgende Eigenschaften sind äquivalent:

1. y ist ganz ¨uber R

2. § x1. . . xn > R yⁿx1yⁿ¹. . . xn y, dass heißt y ist Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in R

3. R yist enthalten in einem Teilring T von S, der als R-Modul endlich erzeugt ist.

Beweis :

1 3: Trivial (w¨ahle T:=R[y])

3 2: Seit1. . . tnein Erzeugendensystem(als R-Modul) von T. Da T ein Ring ist, giltyT bT §yij>R mit yti

Pn

j 1xijtj F¨ur diennMatrixA xijyδij_ij (wobei δij das Kronecker-Delta-symbol ist) mit Eintr¨agen inR ygilt:A

t1

tn

0 SeiA die zuAadjungierte Matrix.

Notiz. A wird auch alsAdjunkte,klassische adjungierteoderkomplement¨areMatrix bezeichnet.

Bemerkung. Der ij-Eintrag von A ist 1ⁱ^jdetA^jiwobei A^ij die n1 n1Matrix ist, die aus A durch Streichung der j-ten Zeile und i-ten Spalte entsteht.

Lineare Algebra(Cramer’sche Regel):AA detAI detA

t1

tn

0,d.h. detAti 0¦i Da 1> Pⁿ

i 1R ti folgt daher detA 0 Entwickeln von detA

Ô 0 detA yⁿQy

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

normiertes Polynom

mit einem PolynomQvom GradeBn1 mit Koeffizienten inR.

2 1: Wegenyⁿ x1yⁿ¹. . .xn istR yals R-Modul durch 1, y, y², . . . , yⁿ¹ erzeugt.

Korollar 2.3. SeienR`S undS`T ganze Ringerweiterungen, dass ist auchR`T ganz.

Beweis : Seiy>T

Nach Satz 2.2 (1 2) gilt: §x1, . . . , xn>S mit yⁿx1yⁿ¹. . .xn 0 Nach Satz 2.2 (2 1) gilt dann:y ist ganz ¨uberR x1, . . . , xn

Aus Lemma 2.1 (n-fach angewendet) folgt, dassR x1, . . . , xn, yendlich ¨uberR ist (daR`S ganz folgt: allexi

ganz ¨uberR).

Nach Satz 2.2 (3 1) gilt also:yist ganz ¨uberR.

2008-10-20 Korollar 2.4 (ganzer Abschluß). SeiRbS eine Ringerweiterung. Die Menge der ¨uberRganzen Element von S bildet einen Ring. Er heißt derganze AbschlußvonR inS

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Beweis : Seien x, y > S ganz ¨uber R. Nach Korollar ?? (2.3) (angewandt auf R bR x bR x, y) ist R x, y ganz ¨uberR, insbesondere die Elementexy, xy.

Definition 2.3 (Normalisierung, ganzabgeschlossen). Sie R ein Integrit¨atsring,

To do:alles ok?`? K QuotR x

y S x>Ry`R0

der Quotientenk¨orper. Der ganze Abschluß ¯R von R in K heißt die Normalisierung von R. R heißt ganzabge- schlossen(oder:normal), fallsR R.¯

Korollar 2.5. Sei R ein Integrit¨atsring, K QuotR und L~K eine K¨orpererweiterung. Sei S der ganze Abschluß von R in L. Dann gilt:

(i) S ist ganzabgeschloßen

(ii) IstL~K endlich, so enth¨alt S eine K-Basis von L.

To do:Abb 1.2 -so ok?

S ` L

S S

R ` K

Beweis :

(i) Zu zeigen istS S. Nach Korollar¯ ??(2.4) ist ¯S ganz ¨uber R, alsoS S¯ da S der maximale Teilring von R, der ganz ¨uber R ist.

(ii) Seix>L. Da x algebraisch ¨uber K ist, existierenci>K mitxⁿc1xⁿ¹. . .cn 0. Schreibeci ai

a mit gewissena, a1, . . . an>R. Dannaxⁿa1axⁿ¹aa2axⁿ². . .aⁿ¹an 0, also istaxganz ¨uberR, alsoax>S. Daraus folgt (ii)

Proposition 2.6. Faktorielle Ringe sind ganzabgeschlossen.

To do:QuotR? Beweis : Sei R faktoriell undy>QuotRganz ¨uber R. Es existierenx1, . . . , xn>Rmityⁿx1yⁿ¹. . .xn 0.

Schreibey ^a_b mit teilerfremden a, b>R. Dannaⁿ x1baⁿ¹. . .xnbⁿ. Seiπ primteiler vonb. DannπSaⁿ, also auchπSa

^zu^{a, b} 1. Also existiert kein Primteiler vonb, dass heißtb>R, alsoy>R.

Proposition 2.7. Sei R ein ganzabgeschlossener Integritätsring, K QuotRund ¯K ein algebraischer Ab- schluß von K. Seiy>K¯ und sei µX >K Xdas Minimalpolynom von y über K [= das eindeutige bestimmte normierte Polynom inK Xminimalen Grades mitµy 0]. Dann sind äquivalent:

(i) y ist ganz ¨uber R (ii) µX >R X Beweis :

(ii) (i): ist klar

(i) (ii): Seieny1, . . . , yndie Nullstellen vonµXin ¯K. SeihX >R Xnormiert mithy 0. Wegen µXShXgilthyi 0. F¨ur alle 1BiBn, also sind alleyi ganz ¨uber R.

’Satz von Vieta’ Die Koeffizienten vonµXsind elementarsymmetrische Funktionen in denyi, insbesondere also Elemente in Zy1, . . . , yn, also ganz ¨uber R gem¨aß Korollar?? (2.4).

R` R y1, . . . yn `K¯ 8

Z y₁, . . . , y_n Also liegen die Koeffizienten in R, da R ganzabgeschlossen.

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3 Dedekindringe

Notiz (Erinnerung). p Prim pxR oderab>p a>p undb>p mMaximalideal f¨ur alle Idealeamit m`a`R a modera R

Definition 3.1 (noethersch). Ein Ring R heißtnoethersch, falls jedes Ideal in R endlich erzeugt ist.

Lemma 3.1. Es sind ¨aqivalent:

(i) R ist noethersch

(ii) IstI0bI1bI2b. . .eine aufsteigende Kette von Idealen in R, so existiert einn0mitIn In0 f¨ur allenAn0

(iii) Jede nichtleere Menge Σ von Idealen in R besitzt ein maximales Element (bez¨uglichb) Beweis :

(i) (ii): SeiI _n8

B0In. Da R noethersch ist, ist dieses Ideal endlich erzeugt. Ein endliches Erzeugen- densystem ist inIn0 für ein geignetesn0enthalten, dafür gilt dannIn In0 für allen n0

(ii) (iii): klar

(iii) (i): Sei I`R ein Ideal. Dazu ΣI die Menge der endlich erzeugten IdealeI mit IbI. Wegen 0 0 >ΣI ist ΣIx g. Nach (iii) existiert ein maximales ElementIin ΣI.

w¨areIxI §x>I~I Das vonIund x erzeugte Ideal ist endlich erzeugt und inI enthalten und insbesondere istIdann enthalten

zur Maximalit¨at vonI

I Iund damit endlich erzeugt.

Bemerkung (Schreibweise). F¨ur Ideale I, J eines Ringes R seiI J das kleinste Ideal, welches alle Elemente x y mitx>I, y>J enth¨alt.

Lemma 3.2. Sei R ein noetherscher Ring,I`Rein Ideal, 0 0 xI. Dann existieren Primideale

To do:kleine Fraktur qs p₁, . . . ,p_r, allep_ix0 mitp₁ . . . p_r`I.

Beweis : Sei Σ die Menge aller IdealeJin R, 0xJ, f¨ur die KEINE Primidealmengep1, . . . ,prx0 mitp1. . .prbJ existiert.

z.z.: Σ g Annahme: Σx g

(R noethersch (Eigenschaft 13) Lemma??(3.1) ) es existiert ein maximales ElementJin Σ

Offensichtlich ist J keinPrimideal, es existieren also a, b>R mit ab>J, aber a¶J undb¶J. SeiJ, abzw.

J, bdas von J und a, bzw. von J und b erzeugte Ideal. Dann ist J, a øJ undJ, b øJ, also J, a ¶Σ und

J, b ¶Σ (da J maximal in Σ). Also existieren Primidealep1, . . . ,pnundq1, . . . ,qm, allex0, mitJ, a cp1 . . .pn

undJ, b cq1 . . .qm. Aus J, aJ, b J2, aJ, bJ, ab bJ folgt damitp1 . . . pn q1 . . . qmbJ

^zu^J ^>^Σ.

Damit folgt Σ g

To do:lem 3.3 mit Beweis Lemma 3.3. R ein Ring,p`R Primideal,I1, . . . In weitere Ideale in R.

GiltI1 . . . In`p §j> 1, . . . , n Ij`p Beweis : Ann.: ¦j> 1, . . . .n §xj>Ijxj¶R bildex1 . . . xn

Es gilt:x1 . . . xn>I1 . . . InbR(nach Vorraussetzung ) (Dap Primideal)

Definition 3.2 (Dedekindring). EinDedekindist ein ganzabgeschlossener noetherscher Integrit¨atsring, in den jedes Primidealx0 maximal ist.

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Definition 3.3. Sei Rein Integrit¨atsring,K QuotRund 0xI`Rein Ideal (I R erlaubt!). Setze I¹ x>KSxIbR

Offenbar gilt:

I¹ ist ein R-Untermodul in K

RbI¹

IstI ein Hauptideal,I a Ra f¨ur eina>R, so I¹ Ra¹

Proposition 3.4. Ist R ein Dedekindring, 0xI bR ein Ideal und 0xp bR ein Primideal, so gilt p¹I xI (Klar istp¹I`I )

[F¨ur R-UntermodulM, Nin K seiM N der R-Untermodul von K, der durch alle Elementem nmitm>M und n>N erzeugt ist. ]

2008-10-22 Beispiel. Hauptidealringe sind Dedekindringe

To do:frac p Beweis :

(i) Zunächst betrachte den Fall I R. Dann m¨ussen wir ein x > p¹ mit x ¶ R finden. Wir wählen ein a>p0. Nach Lemma??(3.2) existieren Primidealep1, . . . ,pr (allepix0) mitp1 . . . pr` a. Hier sein r kleinstmöglich, rC1. Aus a>p, a `p, folgt mut Lemma??(3.3), dass pi`p für ein i gelten muß. Da in R jedes Primidealx0 maximal ist, folgtpi p.

Istr 1, so folgtp p1 a, alsop¹ Ra¹und f¨urx a¹folgt x>p¹ undx¶R( sonst w¨area>R, damit p a R, also p kein Primideal).

Sei nunrC2.

O.B.d.A gilti 1.

Aus der Minimalit¨at von r folgtp2 . . . prÚ a. Also existiert einb¶p2 . . . prmitb> a. Setzex a¹b.

Daf¨ur gilt x>p¹ wegen bp p1bbp1p2 . . . pr b a, also _a^bpbR, ferner gilt x>R wegen b ¶ a, also x _a^b ¶R.

(ii) Nun sei I beliebig. Da R noethersch ist existierenα1, . . . , αn>RmitI α1, . . . , αn. Angenommen p¹I I.

Dann existiert f¨ur jedesx>p¹ einenn-MatrixA Ax aijij mit aij>R, so dassxαi

Pn

j 1aijαj f¨uri 1, . . . , n.

Aquivalent: setzt man¨ T xInA (mit Einheitsmatrix I...), soT

α1

αn

0.

Lineare Algebra (¨uber dem Quotentienk¨orper von R) detT 0.

Daraus folgt das normierte Polynom detXInA (in der freien VariablenX, mit Koeffizienten in R) hat die Nullstelle x. Also ist x ganz ¨uber R, alsox>R, da R ganzabgeschlossen ist. Es folgt p¹ R, in Widerspruch zu (i). Also war die Annahmep¹I Ifalsch.

Korollar 3.5. Ist ein R ein Dedekindring, 0xpúR ein Primideal, sop¹p R Beweis : Nach Definition vonp¹giltp¹pbR, undp¹pist ein Ideal in R.

Anderseitspbp¹p, aberpxp¹pgemaß Pr¨aposition??(3.4). Da R ein Dedekindring ist, ist p aber maximales Ideal, alsop¹p R.

Satz 3.6(Hauptstruktursatz f¨ur Dedekindringe). Ist R ein Dedekindring, so ist jedes echte Ideal (d.h.x0 und xR) in eindeuteiger Weise (bis auf Reihenfolge der Faktoren) das Produkt von Primidealen.

To do:g zu frac q machen 9

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Beweis :

Eindeutigkeit:

Seienp1, . . . ,pr undq1, . . . ,qsPrimideale (x 0) mitp1 . . . pr q1 . . . qs.

Also q1 . . . qs p1 . . . pr bp1. Da p1 prim ist, folgt qi b p1 f¨ur ein i gem¨aß Lemma ?? (3.3), nach Umnummirierung i 1.

Da R Dedekinring ist, istq1 maximal, alsoq1p1.

Multiplikation der Gleichheit p1 . . . pr q1 . . . qs mit p₁¹ q₁¹ und Beachtung von p₁¹p R q₁¹q1

(Korollar ?? (3.5) ) ergibt p₂ . . . p_r q₂ . . . q_s. Fortsetzung dieses Verfahren ergibt r s und (nach Umnummerierung )pi qi ¦i

Existenz:

Sei Σ 0xiùR, I IdealS §keine Produktzerlegung von I in Primideale Zu zeigen ist Σ g:

Angenommen, Σx g.

Da R noethersch ist existiert ein maximales Element I in Σ. Dazu existiert ein maximales IdealpøRmit Ibp.

Mit Korollar??3.5 folgtIbIp¹bpp¹ R.

Da I maximales Element in Σ ist, und IxIp¹ (Pr¨aposition?? 3.4). folgtIp¹¶Σ (oderIp¹ Rdann aber I=p, in Widerspruch zu I > Σ) . Also existieren Primideale p1, . . . ,pr mit Ip¹ p1 . . . pr. Mit Korollar?? 3.5 folgt darausI pp1 . . . pr : Widerspruch zuI>Σ.

Definition 3.4. Sein R ein Ring, I und J Ideale in R:

Wir sagenI teilt J, geschriebenISJ, falls ein Ideal ImitII J existiert.

Korollar 3.7. Sei K ein Dedekindring:

To do:x0?, ??? und Nummerierung?

(a) F¨ur Primidealep1, . . . ,pr, allex0, giltp1 . . . pr¹ p₁¹ . . . p_r¹ (b) F¨ur Idealex0 giltII¹ R ???

(c) F¨ur IdealeI, J gilt:

ISJ JbI Beweis ¨Ubung:

Definition 3.5. Sei R ein Integrit¨atsring, K QuotR.

Ein R-UntermodulJ x0 von K, f¨ur den ein a>R0 mitaJbR existiert, heißtgebrochenes Idealvon R.

Lemma 3.8.

(a) Ist J ein gebrochenes Ideal,a>R undaJbR, so ist aJ ein Ideal

(b) Das Produnkt zweier gebrochener Ideale (alsR- Untermodul inK) ist ein gebrochenes Ideal

(c) Ist R noethersch , so ist ein gebrochenes Ideal dasselbe wie ein endlich erzeugter R-Untermodulx0 vonK.

(d) Ist 0xI`Rein Ideal, so ist I¹ x>KSxIbRein gebrochenes Ideal Beweis ¨Ubung:

Proposition 3.9. Sei R ein Dedekindring. Die gebrochen Ideale bilden (unter Multiplikation) eine abelsche Gruppe, bezeichnetIR. Ihr Einselement ist R und ist J eingebrochenes Ideal, so istJ¹ x>KSxJ`Rsein Inverses inIR.

Beweis : Allein die Existenz (und die angegebene Formel) von Inversen ist zu pr¨ufen.

Klar ist, dasJ¹ (wie definiert) ein gebrochenes Ideal ist, ebenso folgtJJ¹`Raus der Definition.

Zu zeigen bleibtJJ¹ R

Seia>R0 mitaJ bR (aexistiert, daJ gebrochen). Dann gilt:

JJ¹ a¹aJJ¹a¹a

folgt aus®

der De- finition von¹

a¹aJJa¹a

Korollar®

3.7 b angewandt auf das echte IdealaJ

a¹Ra R

10

(11)

Bemerkung. Die Definition von¹kann in der Gleichung angewendet werden, weil gilt:

To do:xJaok?

J¹a¹ x>KSxJbRa¹ x>KSxJabR Ja¹

Korollar 3.10. Sei R ein Dedekindring. Jedes gebrochene Ideal J besitzt eine eindeutige Produktzerlegung:

J M

p>M axR

p^ν^p^J mit νpJ >Z, undνpJ 0 f¨ur fast allep [Hier: Max(R)= Menge der maximale Ideale von R]

folglich istIRdie freie abelsche Gruppe ¨uber der MengeM axR

Beweis : J ist ein Quotient zweier echter Ideale (z.B.J a¹aJfallsaJbR,ax0 ) Schließe mit satz 3.6

2008-10-27 Definition 3.6. Sei R ein Dedekindring,K QuotR. Ein gebrochenes Ideal der Form J Rx x, f¨ur ein x>K heißt gebrochenes Hauptideal. Die gebrochenen Hauptideale bilden eine Untergruppe PRvon IR.

Der Quotient

ClR IR~PR heißt die(Ideal-) Klassengruppevon R.

0 R K IR ClR 0

> >

x ( x

Also:Rund Cl(R) messen die ”Diskrepanz” zwischenKundIRdhRmißt den ”Verlust” beim ¨Ubergang vonK zu I(R) und Cl(R) mißt den ”Zuwachs”.

SeiK~Qeine endliche K¨orpererweiterung,OK der ganze Abschluss vonZin K. Wir werden zeigen:

(a) OK ist ein Dedekindring (b) ClOKist endlich

(c) OK ist endlich erzeugt

To do:Ø zu frak O ¨andern Satz 3.11. Sei Rein Dedekindring, seienI1, . . . , ImIdeale mitIiIj R f¨ur alleuxj. Dann ist der Ringmor- phismus

To do:matrix?

R~I1 . . . Im Ð R~I1. . .R~Im

> >

x z x, . . . ,¯ x¯ bijektiv.

Beweis :

INJEKTIVIT ¨AT:

F¨ur die Injektivit¨at istI1 . . . Im I18. . .8Im zu zeigen.

Klar ist ”b”.

Sei umgekehrtx>I18. . .8Im. DannIjSxf¨ur jedes j (mit Satz??(3.6) und daIjIi Rf¨ur alleixj, d.h.

Ii undIj teilerfremd, folgt weiterI1 . . . ImSx(wieder mit Satz??3.6 ), alsox>I1 . . . Im. SURJEKTIVIT ¨AT:

Gilt ohne die Voraussetzungen, das R Dedekindring ist (Chinesischer Restsatz) 11

(12)

4 Endlichkeit des ganzen Abschlusses

To do:ok so?

Sei A`B eine Ringerweiterung derart, dassB als A-Modul frei vom Rangnist. Zu jeden β>B definiere die Abbildung

To do: drehen...

Tβ B Ð B

> >

b z βb

Definition 4.1. T r_B_~_Aβ >A(bzw.N_B_~_Aβ >A) sei die Spur (bzw. die Norm) der AbbildungTβ, aufgefaßt als A-linearer Endomorphismus des A-Moduls B.

Konkret:

Ist e₁, . . . , e_n eine A-Basis von B und βe_i Pⁿ

j 1a_ije_j, also a_ijij die darstellende Matrix f¨ur T_β bzgl.

e1, . . . , en, so

To do:aii ok?

T r_~_Aβ Qⁿ

i 1

aii, N_A_~_Bβ detaijij Oder: Istχβ detY InTβ Pⁿ

i 01ⁱaiYⁱ das charakteristische Polynom von Tβ, dass T rA~Bβ a1 und NA~Bβ an

Bemerkung.

(a) T rB~AB Ð Aist A-linear,T rB~Aα nαf¨ur einα>A

(b) NB~AB Ð A ist ein Gruppenhomomorphismus,NB~Aα αⁿ f¨ur einα>A

Lemma 4.1. Sei L~K eine seperable endliche K¨orpererweiterung, ¯K ein algebraischer Abschluss von K, sei Σ HomKAlg.L,K¯. Dann gilt f¨ur einx>LT r_L_~_Kx P

σ>Σσx, N_L_~_Kx L

σ>Σσx

To do:Beweis...

Beweis : Sei χx > K Y das charakteristische Polynom von Tx (als K-linearer Endomorphismus von L), sei µx Y^mc1Ym1. . .cm>K Ydas Minimalpolynom vonxuber K (also¨ m Kx K).

L S Kx

S K Seiα1, . . . αd eineKx-Basis von L. Dann istαi;x^j ^1BiBd

0BjBm1 eine K-Basis von L In dieser Basis wirdTxdurch Blockdiagonalmatrix

To do:Block...

j 0

j

0 j

dargestellt mitdBl¨ockenjder Form:

To do:matrix- haut hier alles hin?

12

(13)

0 1 0

0

1

cm cm1 . . . c1

AlsoχX µ^d_X

Sei Σx HomKAlg.Kx,K¯. DaL~Kseperabel, istµx L

τ>Σx

Yτx. Ebenso, daL~Kseperabel: zu jeden τ>Σxexistieren genau d LKx viele verschiedeneσ>Σ mitσSKx τ.

Damit

To do:Formel? mu hoch d?

χx µ^d_x

M

τ>Σx

Y τx

d

M

σ>Σ

Y σx

’Satz von Vieta’ Behauptung

Lemma 4.2. SeienKbLbM seperable endliche K¨orpererweiterungen. Es gilt T r_M_~_K T_L_~_K T r_M_~_L, N_M_~_K N_L_~_K N_M_~_L

Beweis : Seien ΣM~K homKM,K,¯ ΣM~L homLAlgM,L¯ und ΣL~K homLAlgL,K.¯ F¨ur alleτ>ΣL~K w¨ahle: ˜τ>ΣM~K mit ˜τSL τ.

To do:matrix?

Dann ist :

ΣM~LΣL~K Ð ΣM~K

σ, τ z τ˜Xσ bijektiv Damit:

istx>M, so

NM~Kx M

%>Σ_M~K

%x L

τ>ΣL~K

σ>ΣLM~L

˜τXσx (1)

τ>ΣL_L~Kτ˜

L

σ>Σ_M~Lσx

(2)

τ>ΣL_L~Kτ˜

N_M_~_Lx

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

>L

(3)

da˜τSL τ τ>ΣLL~K

τNM~Lx NL~KXNM~L x (4) Buchst¨ablich genauso f¨urT r...

Bemerkung (ohne Beweis). Lemma 4.2 stimmt auch f¨ur nichtnotwendig seperable K¨orpererweiterungen Definition 4.2. SeiA`B eine Ringerweiterung, B als A-Modul frei vom endlichen Rang. Die symmetrische A-Bilinearform:

To do:matrix?T rx ystatt Komma?

@,A @,AB~A BB Ð A

> >

x, y z T r_B_~_Ax, y

heißt dieSpurformvonA`B. Istβ1, . . . , βmeine A-Basis von B undMβ1, . . . βmdie darstellende Matrix von

@,Abez¨uglichβ1, . . . , βm(alsoMβ1, . . . , βm @βi, βjAij), so heißt dβ1, . . . βm detMβ1, . . . , βm

dieDiskriminanteder Basisβ1, . . . , βm

13

(14)

Lemma 4.3 (Feststellung (kein richtiges Lemma)). Ist γ1, . . . , γm eine weitere A-Basis von B und Y die zu- geh¨origen Basiswechselmatrix, also

γ1

γm

Y

β1

βm

,so gilt:

Mγ1, . . . , γm Y Mβ1, . . . , βmY^t(lineare Algebra symmetrischer Bilinearformen)

alsodγ1, . . . , γm detY²dβ1, . . . , βmWegen detY >Afolgt:dβ1, . . . , βnist bis auf Multiplikation mit einem Element inA² x²Sx>Aunabh¨angig von der Basiswahlβ1, . . . , βm

Insbesondere:

To do:fehlt was?

das Idealdβ1, . . . , βmin A ist unabh¨angig von der Basiswahl

IstA Z, so istdβ1, . . . βm >Zunabh¨angig von der Basiswahl (daZ² 1).

Proposition 4.4. IstL~Kein endliche seperable K¨orpererweiterung, so ist die Spurform@,Anicht ausgeartet.

Aquivalent:¨

F¨ur eine (oder: jede) Basisβ1, . . . , βmvon L ¨uber K istdβ1, . . . , βm x0

To do:Beweis vollst¨andig?

Beweis : Satz vom primitiven Element (L~K Seperabel !) Nach Lemma??(4.1) gilt:

@ Θⁱ,Θ^j A T r_L_~_KΘⁱΘ^j ^mP

k 1

σ_kΘⁱΘ^j P

k 1σ_kΘⁱσ_kΘ^j also M1,Θ, . . . ,Θ^m¹ σ_kΘⁱ^t_k,i σ_kΘ^jk,j

(Matrixprodukt),

damitd1,Θ, . . . ,Θ^m¹ detσkΘⁱk,i². Setze Θk σkΘ.

Dann detσkΘⁱk,j det

1 Θ1 Θ²₁ . . . Θ^m₁¹ 1 Θ2 Θ²₂ . . . Θ^m₂¹

1 Θm Θ²_m . . . Θ^m_m¹

iLAjΘiΘj

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Vandermonde Determinante

x0

2008-10-29 Sei A ein ganzabgeschlossener Integrit¨atsring,K QuotA, seiL~Keine endliche seperabele K¨orpererweiterung und B der ganze Abschluss von A in L.

Lemma 4.5. T r_L_~_KB bAundN_L_~_KB bA.

Beweis : Ist x > B, also x ganz ¨uber A, so auch σx ganz über A, für jedes σ > homKAlg.L,K. Also¯ T rL~Kx >B8K undNL~Kx >B8Kgemäß Lemma??(4.1). Da A ganzbgeschlossen ist, gilt aberB8K A

Satz 4.6. L enth¨alt freie A-Untermodule M undM vom Rang LKmitM `B`M Beweis : Nach Korollar ??(2.5) enth¨alt B eine K-Basisβ1, . . . , βmvon L.

Nach Pr¨aposition??(4.4) ist@,AL~K nicht ausgeartet, es existieren alsoβ₁, . . . , β_min L mit@β_i, β_jA δ_ij (die zuβ1, . . . , βm bez¨uglich@,AL~K duale Basis). Wir setzen M Aβ1. . .AβmundM Aβ₁. . .Aβ_m . Dies sind freie A-Moduln vom Rang LK m. Klar istM `B.

Sei nunβ>B.

Schreibeβ ^mP

j 1bjβ_j mit bj>K . Zu eigen istbj>Af¨ur alle j.

Aber

bj Q

i

biδij Q

i

biT rL~Kβ_iβj T rL~KQ

i

biβ_iβj T rL~Kββj Wegenββj>B giltT r_L_~_Kββj >Agem¨aß Lemma??(4.5)

14

(15)

Korollar 4.7. IstA noethersch, so ist B alsA-Modul endlich erzeugt. IstA ein Hauptidealring, so ist B als A-Modul frei vom Rang LK.

Beweis : In der Situation von Satz??(4.6) istMendlich erzeugt über A, also ein noetherscher A-Modul, da A noethersch. Also ist B als A-Modul noethersch, also endlich erzeugt. Ist A ein Hauptidealring, so folgt aus dem Struktursatz für Moduln über Hauptidealringen, dass mit M und M auch B freier Modul vom Rang LK ist. A Hauptidealring,M undMfrei A-Modul vom Rangn,M `M`M auchMfrei vom Rangn.

Definition 4.3 (Ganzheitsbasis). EineABasis vonB heißt Ganzheitsbasis.

(Solch eine muß im Allgemeinen nicht existieren, dass heißt B ist im allgemeinen nicht frei ¨uber A) Satz 4.8. Ist A ein Dedekindring, so auch B.

Beweis : Als Teilring eines K¨orpers istB integer.B ist ganzabgeschlossen nach Korollar??(2.5).

AlsAModul ist B noethersch gem¨aß Korollar??(4.7), erst recht also alsBModul.

Bleibt zu zeigen:

jedes Primideal 0qin B ist maximal.

To do:q = g..., frac p.. schreibschrift O Sei β>q0 undβⁿaiβⁿ¹. . .an 0 eine Ganzheitsgleichung f¨urβ uber A von minimalen Grad insbe-¨ sondereanx0. Also 0xan>βB8Abq8A p. Da q prim in B, is p prim in A, also p ein maximales Ideal in A (wir sehen japx0 und A ist Dedekindring).

Betrachte die ganze Ringerweiterung von Integrit¨atsringen A~p Ð B~q

DaA~pein Körper ist folgt, dass auch B~qein Körper ist ( Übungsaufgabe!) also ist q ein maximales Ideal.

Definition 4.4 (Zahlkörper, Diskriminante). EinZahlkörperist eine endliche Körpererweiterung vonQ. Ist K ein Zahlkörper, so heißt der ganze Abschluss vonZin K derRing der ganzen Zahlenin K, bezeichnetOK. [auch

’Zahlring’]

Nach Satz?? (4.8) istOK ein Dedekindring und nach Korollar??(4.7) als Z-Modul frei vom Rang KQ. Die Zahl dK dα1, . . . , αn > Z f¨ur eine ZBasis α1, . . . , αn von OK heißt die Diskriminante von K, nach Feststellung??(4.3) ist sie unabh¨angig von der Basiswahlα1, . . . , αn

Beispiel 4.9 (4.9). Sei d> Z0,1 quadratfrei, K Qº

d. Damit ist 1,º

d eine QBasis von K. Es ist homQK,Q¯ σ1, σ2 mitσ1 idundσ2 charakterisiert durchσ2º

d º d.

Wir berechen (zum Beispiel wie in Prop.?? (4.4) ) dK~Q1,º

d detσ₁1 σ₁º d σ21 σ2º

d

2

det1 º d 1 º

d

2

4d Seiα1, α2 eineZBasis vonOK. Wegen º

d> OK gibt es ein A>M22,Zmit

º1

d Aα1

α2. Daf¨ur gilt detA OKZ º

d, und mit Feststellung??(4.3) folgt 4d d_K_~_Q1,º

d^4.3detA²d_K_~_Qα1, α2 OKZ º

d²d_K.

Da d quadratfrei ist, folgt OKZ º

d > 1,2. Nun O Z º

d 2 ¹₂ > OK oder ^º₂^d > Ooder ¹₂^º^d> OK

¹₂^º^d> OK (denn die Minimalpolynome von ¹₂ und ^º₂^d liegen nicht inZ Xliegen) ^1d₄ >Z(dennX²X^1d₄ ist das Minimal Polynom von ¹₂^º^d)

¹₄^d

To do:fehlt was..??

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