13 Lokale K¨ orper

21ⁿ_n¹²

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

berechne in F5, dann nehme den Repr¨ asen-tanten in

0, . . . ,4

5ⁿ

Schreibweise:SeiAeinI-adischer vollst¨andiger Ring,bnn>Neine Folge inAundmnn>Neine Folge inNmit mnÐÐÐ ªn ª undbn>I^mⁿ ¦n>N ¦m>Nist^ªP

0bn inA~I^m eine endliche Summe.

Wir k¨onnen also eine koh¨arente Folgez zmm>Nin L

m>NA~I^m durchzm

Pª

n 0bn ¦m>Ndefinieren.

Wir schreibenP^ª

0bn z>limÐ^mA~I^mAund sagenP^ª

0 bn ’konvergiert’ in A

Definition 13.1 (diskrete Bewertung). SeiK ein K¨orper. Eine diskrete Bewertung von K ist eine Abbildung νK Z8 ª, die folgenden Bedingungen gen¨ugt:

(a) νx 0 x 0

(b) νxy νxνy(ν_SK ist Gruppenhomomorphismus) (c) νxy Cminνx, νy

Sie heißt trivial, fallsνK 0,ª, heißt normiert, fallsνK Z8 ªund

heißt ¨aquivalent, falls einx>K existiert mitνx 1.

Beispiel. Sei A ein faktorieller Ring,π>A Primzahl, K QuotA zua>K a πⁿ^a_a¹₂ mit n>Z, a1, a2>

A 0 mitπÑa1, πÑa2

Dann:νπa n fernerνπ0 ª

Dann istνπ eine normierte diskrete Bewertung ausK (Teilbarkeitstheorie in faktoriellen Ringen) a1

ªP

n 1an1an akonvergiert inAwegen ak a1^kP¹

n 1an1ank>Nistader Grenzwert derann

(vergleiche Schlussbemerkung zu Abschnitt 12)

’ ’:SeiK ein vollst¨andiger K¨orper bez¨uglichS.S z.z.:Aist vollst¨andig, also die AbbildungϕA lim

ÐⁿA~mⁿ ist surjektiv (m`AMaximalideal) Beweis : Seixnn>lim

ÐⁿA~mⁿw¨ahle zuxn>A~mⁿ einen Repr¨asentanten ˜xn>A x˜nnbildet Cauchyfolge inA:

xn1xn >mⁿ nach Konstruktion hoh¨arenter Folgen undν bzw.S.S (K vollst¨andig)§ x limÐⁿ ªx˜n in Kund nat¨urlich gleichx>A Daf¨ur giltxx˜nxn modmⁿ Behauptung.

2009-01-14 Proposition 13.1 (13.1). Sei K ein K¨orper, v eine diskrete Bewertung auf K.

(a) Ov x>K S vx C0 ist ein Ring (b) Es giltOv x>K S vx 0

(d) Ov ist ein Hauptidealring;Ov ist kein K¨orper genau dann, wenn die Bewertungv nichttrivial ist.

(e) Istvnormiert, so istπ> Ov S vπ 1die Menge der Primelemente inOv und diese sind alle zueinander konjugiert.

Beweis :

(a) x, y> Ov vx, vy C0 vxy vx vy C0 undvxy Cminvx, vy C0

Fernerv1 v1 1 v1 v1 v1 0 1> Ov. Schließlich 0 v1 v1 v1 v1 0 vx vx v1 vxf¨ur alle x, also istOv stabil unterx(x¹

Insgesamt:Ov ist ein Teilring von K.

(b) Seix>K. Giltvx C0, sovx¹ B0 (wegen 0 v1 vx vx¹) Also:x> Ov vx C0 undvx¹ C0 vx 0

To do:bewring istOv

Wegen (b) offensichtlich auch maximal und das einzige solche.

(d) Sei 0x I b Ov ein Ideal. Sei a> I so gew¨ahlt, dass va maximal unter allen vx mit x> I; daf¨ur gilt I a, denn istb>I beliebig, sob a^b_a, wobei v_a^b vb va C0, also _a^b > Ov.

(e) Nach (b) und (d) ist mv das einzige Primideal ungleich 0 in Ov. Also ist π> Ov 0 prim genau dann, wennπ mv. Nach dem Beweis zu (d) ist daf¨urvπ 1 eine hinreichende Bedingung. Sie ist aber auch notwendig, denn: gelteπ mv. Seiπ> Ovmitvπ 1. W¨arevπ nA1, sovπ πⁿ vπvπⁿ nn 0, alsoπ πⁿ> Ov, damit πⁿSπ. Dann w¨are aberπnicht prim.

Definition 13.2. Ein lokaler Hauptidealring, der kein K¨orper ist, heißtdiskreter Bewertungsring Lemma 13.2. Sei A ein diskreter Bewertungsring,π>Aein Primelement,K QuotA.

(a) Jedes Elementx>Khat eine eindeutige Darstellungx uπⁿmitu>Aundn>Z. Dabei istnunabh¨angig von der Wahl vonπundnC0 genau dann, wennx>A.

(b) Die Abbildungv vAK Ð Z8 ª, definiert durchv0 ªundvuπⁿ n(zuu>Aundn>Z) ist eine diskrete Bewertung auf K mitOv A.

Beweis : (a) ist klar

(b) F¨ur n1 C n2 in Z und u1, u2 > A gilt vπⁿ¹u1πⁿ²u2 vπⁿ²πn1n2u1u2 Cn2vElement inA C minn1, n2

vπⁿ¹u1 πⁿ²u2 n1n2 vπⁿ¹u1 vπ^u²u2

Definition 13.3. Ein Betrag (oder: Absolutbetrag) auf einen K¨orper K ist eine AbbildungS.S K Ð Rmit folgender Eigenschaften:

(i) SxS C0¦x>K

(ii) SxS 0 x 0 (iii) SxyS SxSSyS ¦x, y>K (iv) SxyS C SxS SyS ¦x, y>K

Der BetragS.Sheißt nichttrivial, falls einx>KmitSxS x0,1 existiert. Dies sei im folgenden stets vorausgesetzt!

Der BetragS.S heißtnichtarchimedisch, wenn folgende Versch¨arfungen von (iv) gilt:

(iv)SxyS BmaxSxS,SyS ¦x, y>K (nichtarchimedische/starke Dreiecksungleichung) Existierenx, ymit SxyS AmaxSxS,SyS, so heißt der Betragarchimedisch.

Ein nichtarchimedischer Betrag heißtdiskret, falls SKS diskret inR_A₀ist.

Lemma 13.3 (13.3). Sei S.S ein nichtarchimedischer Betrag auf K. F¨ur x, y > K mit SxS x SyS gilt SxyS maxSxS,SyS

Beweis : Ubung¨

Lemma 13.4 (13.4). Ist S.S ein diskreter nichtarchimedischer Betrag auf K, so existiert ein %> R, % A1, mit SKS %^Z.

Beweis : Es gen¨ugt zu zeigen: jede diskrete UntergruppeU x 1in R_A₀ ist von der Form%^Z f¨ur ein %A1. Sei

% minu>U S uA1. Der Logarithmus zur Basis% ist ein Isomorphismus topologischer GruppenR_A₀R, das Bild von U ist eine diskrete Untergruppe L inRmit 1 minl>L S lA0. OffenbarL Z.

Definition 13.4. Zu S.S und % wie in Lemma 13.4 sei v v_S_._S K Ð Z die durch SxS %^v^x definierte Abbildung; offenbar ist v ein diskrete Bewertung.

Umgekehrt: IstvK Z8 ª eine diskrete Bewertung auf K und%>R, %A1, so definiertSxS%,v %^v^x (zu x>K) einen diskreten nichtarchimedischen Betrag S.S%,v auf K.

Wir nehmen zwei nichtarchimedische Betr¨ageS.S1,S.S2 auf K¨aquivalent, falls S.S1 S.S^s2 f¨ur eins>R_A0. Proposition 13.5 (13.5). Sei K ein K¨orper. Wir haben die Bijektionen

A b K diskreter Bewer-tungsring mit QuotA K

Ð normierte diskrete Bewer-tungv aufK

Ð diskreter nichtarchimedi-scher Betrag S.S auf K~

Aquivalenz¨

Ov [ v ( S.S%,v f¨ur ein%A1

A ( vA v_S_._S [ S.S

Bemerkung. Bewertung entspricht Valuation Betrag entspricht (absolute) value

Definition 13.5. Sei S.S ein Betrag auf dem k¨orper k. EIneCauchy folgein K ist eine Folge ann>N in K, so dass f¨ur jedesεA0 einmε>Nmit SananS @ε¦n, nAmεexistiert. EIne Folge ann heißt konvergent, falls eina>K existiert, so dass f¨ur jedesεA0 einmε>Nmit SaanS @ε¦nAmεexistiert.

Bemerkung.

(i) Jede konvergente Folge ist auch Cauchy Folge

(ii) Ist S.S nichtarchimedisch, so istann genau dann eine CF, wenn San1anS eine Nullfolge inR ist ( folgt aus der starken Dreiecksungleichung)

Definition 13.6. K heißtvollst¨andig bez¨uglich S.S, fallss jede CF konvergiert.

Lemma 13.6 (13.6). K ist genau dann vollst¨andig bez¨uglich S.S, wenn der diskrete Bewertungsring Ov_S.S

vollst¨andig ist (im Sinne von Abschnitt 12).

Beweis : Sei zun¨achst A Ov_S.S vollst¨andig. Sei ann CF in K. Dann ist SaSn;n>N beschr¨ankt, wie aus der starken Dreiecksungleichung zu ersehen ist. Daher darf nach Multiplikation mit einemc>Kgleich angenommen werden:SanS B1 ¦n, dass heißtan>A.

DaSan1anSeine Nullfolge ist, existiert eine Folgemnnmitmn

n ª

ÐÐÐÐ ªundan1an>π^mⁿA¦n>N, wobei π>Aein Primelement sei. Daher konjugierta1 ^ªP

n 1an1an ain A; wegenak a1^kP¹

n 1an1an ¦k>N ist a Grenzwert f¨urann (vergleiche die Schlussbemerkung zu Abschnitt 12).

Sei nun umgekehrt K vollst¨andig bez¨uglichS.S. Zu zeigen ist die Surjektivit¨at vonA limÐⁿA~mⁿ (mbAdas minimale Ideal). Sei dazuxnn>limÐA~mⁿ. Zuxn>A~mⁿ eine Repr¨asentanten ˜xn

2009-01-19 Proposition 13.7 (13.7). Der K¨orperK sei vollst¨andig. F¨ur den diskreten nichtarchimedischen BetragS.S. Sei L~K eine endliche seperable K¨orpererweiterung. Es existiert genau ein nichtarchimedischer Betrag S.SL auf L mit SxS SxSL f¨ur alle x>K. Bez¨uglich S.SL istL vollst¨andig, und es gilt die Formel SySL ⁿ

»SN_L_~_Kyf¨ur alle y>L, wobein LK.

Beweis : (Man k¨onnte nachrechnen das dies ein Betrag ist, aber wir betrachten es Ringtheoretisch...)

Existenz: Sei OK x> K;SxS B 1 Ov_S.S. Nach Proposition 13.5 ist dies ein diskreter Bewertungsring mit K QuotOK, nach Lemma 13.6 istOKvollst¨andig. SeiOLder ganze Abschluss vonOKinL. Nach Korollar 2.5 (b) und Satz 4.8 istOLein Dedekindring mitQuotOL L, nach Korollar 4.7 istOLfrei vom Rangn LK

uberOK nach Korollar 5.7 und Satz 12.6 (mit Beweis) ist damitOL ein vollst¨andiger diskreter Bewertungsring.

F¨ur die gem¨aß Proposition 13.5 zugeh¨orige diskrete BewertungV_O_L aufLgiltV_O_Lx e V_O_Lxf¨ur allex>K, wobeie em_OL~_OKwie fr¨uher definiert

Bemerkung. hierm_O_L bzw.m_O_K das maximale Ideal vonOLbzw.OK unde em_OL~m_OKwie in Abschnitt 6 definiert, alsom_O_K m_O_L m^e_O

Folglich iste¹v_O_Leine diskrete Bewertung aufL, die die diskrete Bewertungv_O_KaufKfortsetzt. IstS.S S.S%,v_O_K

(das heißtSxS %^v^OK^x f¨ur einx>K), so definiertS.SL %^e¹^v^OK^y f¨ur einy>Leine Fortsetzung vonS.S nach L, undList diesbez¨uglich vollst¨andig gem¨aß Lemma 13.6.

Eindeutigkeit: Sei nun S.SL irgendein diskreter nichtarchimedischer Betrag, der S.S fortsetz. Sei α> OL, also α ganz ¨uberOK. Betrachtung einer Ganzheitsgleichung f¨ur α¨uberOK ergibt (wegen der VoraussetzungS.S_L S.S auf K), dass SαS_L B1. Also ist OL enthalten im zu S.S_L geh¨origen diskreten Bewertungsring Ov_S.S

L. Dann aber OL Ov_S.S

L da OL selber ein diskreter Bewertungsring ist (wie wir oben sahen: dies beruhte darauf, dass K vollst¨andig bez¨uglichS.Sist!)

Es folgt, dassS.SL undS.S_L ¨aquivalent sind, also gleich (da aufK ¨ubereinstimmend).

Zur Formel: SeiLeine galoische H¨ulle vonL~K, seiS.SLdie Fortsetzung vonS.SLnachL, seiOLihr Ganzheits-ring ¨uberOK (wie oben). F¨ur alleσ>GalL~KgiltσOL undσm_OL m_O_L und daherSσxSL SxSL f¨ur allex>L.

Darus folgt f¨urx>L:SxSⁿL L

σ>HomKL,KSσxrSL S L

σ σx

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

NL~Kx>K

SL SN_L_~_KxS

In der Situation von Proposition 13.7 seien OK und OL die zu S.S S.SK bzw. S.SL geh¨origen vollst¨andigen diskreten Bewertungsringe, m_O_K bzw. m_O_L ihre maximalen Ideale, kK OK~m_OK und kL OL~m_OL ihre Restklassenk¨orper. Wie in Abschnitt 6 sei der Verzweigungsindex e e_L~K em_OL~m_OK definiert durch m_O_K OL m^e_O^L~K

L und derTr¨agheitsgradf f_L_~_K fm_O_L_~_m_O

Ksei definiert durchf_L_~_K kLkK. Nach Satz 6.2 giltn e_L~K f_L~K(mitn LK). Wir nennenL~Kunverzweigt, fallse_L~K 1 (also wennm_O_K OL m_O_L) undtotal verzweigt(oder:rein verzweigt, falls f_L_~_K 1 (also wennkK Ð kL).

Satz 13.8 (13.8). Die Restklasse kL undkK seien endlich. Dann existiert genau ein Zwischenk¨orper M von L~K, so dass M~K unverzweigt und L~M total verzweigt ist; insbesondere M K f_L_~_K f_M_~_K und

LM e_L_~_K e_L_~_M.

Bemerkung. Ubung:¨ eL~K eL~M eM~K fL~K fL~M fM~K

Es giltM Kζf¨ur eine primitive®kL1-te Einheitswurzelζ. Jeder ¨uberK unverzweigte Zwischenk¨orper vonL~Kist in M enthalten.

Beweis : Sei q ®kL und ζ eine primitve q1-te Einheitswurzel in kL, also kL kKζ. Sei pX das Minimalpolynom vonζ ¨uberkK. Es existiert eingX >kK Xmit pXgX X^q¹1 inkK X.

Henselsches Lemma (Satz 12.9) es existiert ein normiertespX > OK XmitpX pX modm_O_K und pXSX^q¹1 inOK X. Wir schreibenpX L

αXαinkL Xf¨ur egwisseα>kL, darunterζ. Henselsches Lemma pX L

αXα in OL X f¨ur gewisse α> OL, darunter ζ > OL mit ζ ζ modmO_L. Wegen

XζSpXSX^q¹1 giltζ^q¹ 1. Andererseits istordζ q1 ein Teiler vonordζ(wegenζζ modm_O_L).

Alsoordζ q1, dass heißtζ ist primitiveq1-te Einheitswurzel.

SeiM Kζ.

Wegen kL kKζ kM gilt fL~K kL kK kM kK

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

fM~K

B M K BdegpX degpX fL~K, also

uberall Gleichheit und damit M K f_L_~_K. Multiplikativit¨at von e_._~_. und f_._~_. und die Formel L K e_L_~_Kf_L_~_K zeigen nun:

M~K ist unverzweigt,L~M ist total verzweigt.

Ist M~K eine weitere unverzweigte, in L enthaltene K¨orpererweiterung, so folgt aus dem bereits gezeigten (angewandt auf M statt L), dass M Kζf¨ur eine primitiveq1-te Einheitswurzel ζ, mit q ®kM. WegenkM `kL ist aberq1ein Teiler vonq1, alsoM Kζ bKζ M.

Definition 13.7. M heißt derTr¨agheitsk¨orper (oder: die maximale unverzweigte Teilerweiterung) vonL~K.

2009-01-21 Bemerkung. F¨ur alleσ>GalL~K AutL~KgiltσOL OL (denn OL ist charakterisiert als der ganze Abschluß vonOK inL), damit auch σmL mL, dass heißt wir haben

σ OL Ð OL

8 8

mL Ð mL

folglich induziertσeinen AutomorphismusσkL Ð kL mit σSkK id [kL OL~mL kK OK~mK]

Wir erhalten also einen kanonischen GruppenhomomorphismusγGalL~K GalkL~kK, σ(σ

Nach der Theorie endlicher K¨orper ist GalkL~kK zyklisch, erzeugt von relativen Frobeniusautomorphismus y(y^q⁰ x>kLmitq0 ®kK

Korollar 13.9 (13.9). L~Kseperabel

(i) IstL~Kunverzweigt, so istL~Kgaloisch undγist ein IsomorphismusGalL~K GalkL~kK Z~f_L_~_KZ (ii) Ist L~K galoisch, M der Tr¨agheitsk¨orper, so ist γ surjektiv, GalL~K GalM~K GalkL~kK

Z~f_L_~_KZ Beweis :

(i) Nach Satz 13.8 istL Kζmit einer primitvenq1-ten Einheitswurzelζ(wobeiq ®kL). Insbesondere istL~Kgaloisch. Es istGalL~K OL, σ(σζinjektiv.

Wir sahen ferner, dass alle Nullstellen von X^q¹1 auch modulo mL verschieden sind, insbesondere ist auch GalL~K kL, σ(σζ. Also istGalL~K Ð^γ GalkL~kKinjektiv.

Da beide Seiten die Kardinalit¨atf_L_~_K haben (dennL~K undkL~kK sind galoisch undL~K unverzweigt), istγ bijektiv.

(ii) folgt aus (i)

Definition 13.8 (Tr¨agheitsgruppe). Ist L~K galoisch, so heißtIL~K Ker GalL~K Ð^γ GalkL~kK

σ>GalL~K S σx x modmL ¦x> OL die Tr¨agheitsgruppevon GalL~K. Aus der Galoistheorie folgt nun (wegenGalM~K GalkL~kK)

M L^I^L~KundIL~K GalL~M .

Definition 13.9(lokaler K¨orper). IstK ein K¨orper,S.Sein diskreter nichtarchimedischer Betrag aufK, so dass Kvollst¨andig bez¨uglichS.Sund der Restklassenk¨orperkK endlich ist, so heißtK(genauer: das PaarK,S.S) ein lokaler K¨orper

Im Dokument Vorlesungsmitschriften der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie von Prof. Große-Kl¨onne Wintersemester 2008/2009 (Seite 48-53)