12 Vollst¨ andige Ringe

Definition 12.1. Sei R ein Ring, IbRein Ideal. Die I-adische Komplettierung(Vervollst¨andigung) vonR ist der projektive Limes

limÐR~Iⁿ œˆxnn>N> M

n>N

R~Iⁿ S xn>R~Iⁿ, xn xn1Iⁿ (’inR~Iⁿ ’)¡

Also ... R~Iⁿ¹ R~Iⁿ R~Iⁿ¹ ... R~I

limÐ^n>NR~Iⁿ ˜...( xn1 ( xn ( xn1 (...( x1

’Koh¨arente Folgen’ in L

n>NR~Iⁿ AlleR~Iⁿ sind Ringe daraus folgt L

n>NR~Iⁿ tr¨agt Ringstruktur.

AlleR~Iⁿ¹ R~Iⁿ Ringmorphismen, daraus folgt limÐⁿR~Iⁿ ist Teilring.

Wir haben einen nat¨urlichen Ringmorphismus

ϕ R Ð limÐⁿR~Iⁿ

> >

x z ˆxIⁿn>N

R heißtI-adisch Komplett(vollst¨andig), wennϕein Isomorphismus ist.

Ein lokaler Ring R mit maximalen Idealmheißt vollst¨andig, wenn erm-adisch vollst¨andig ist.

Beispiel. Sei A ein Ring, seiA X ›Pⁿ

i 0aiXⁱ S n>N, ai>A der Polynomring, seiA X ›^ªP

i 0aiXⁱ S ai>A  derformale Potenzreihenring(in der freien Variablen X) ¨uber A.

Zun>Nhat jedes Element inA X~ˆXⁿeinen ’kanonischen’ Repr¨asentanten inA X: n¨amlich denjenigen der FormⁿP¹

i 0aiXⁱ>A X. Auf diesen Repr¨asentanten istA X~ˆXⁿ¹ Ð A X~ˆXⁿgegeben durch Pⁿ

i 0aiXⁱ(

n1

iP0aiXⁱ (Weglassen des Summanden anXⁿ, Beibehaltung der ¨ubrigen). Ein Element in limÐⁿA X~ˆXⁿ ist folglich gegeben durch eine Folge

To do:alles da?, sinn?

ŒⁿP¹

i 0a^ˆ_i^nXⁱ ˆXⁿ‘

n>N> L

n>NA X~ˆXⁿ

mita^ˆ_i^n a^ˆ_i^n1¦i@nalle eindeutig bestimmt.

Es ergibt sich also eine Bijektion

ˆ‡ A X Ð limÐA X~ˆXⁿ

> >

Pª

i 0 z ŒⁿP¹

i 0aiXⁱ ˆXⁿ‘

n>N

Leicht: dies ist auch ein Ringisomorphismus. Das heißtA Xist dieˆX-adische Vervollst¨andigung vonA X! Ferner ist klar: A X~ˆXⁿ A X~ˆXⁿ f¨ur alle n > N Aus (*) folgt daher auch: A X ist ˆX-adisch vollst¨andig!

Beispiel (12.2). Sei R eindiskreter Bewertungsring, also (per Definition) ein lokaler Hauptidealring, der kein K¨orper ist. Sei π> R ein Primelement. Dann sindˆ0 und ˆπ die einzigen Primideale undˆπ ist maximal (bedenke HIR ist Dedekindring).

SeiM `Rein Repr¨asentantensystem f¨ur den Restklassenk¨orperR~ˆπ(also eine TeilmengeM `R, so dass die KompositionM R R~ˆπbijektiv ist). Es gelte 0>M.

Lemma 12.1. Sein>N. Zu jedemx>R~ˆπⁿ existieren eindeutig bestimmte Elemente a0, . . . , an1 inM mit x ⁿP¹

i 0aiπⁱ¹ ˆπⁿ (inR~ˆπⁿ). IstmBndie maximale Zahl mitx> ˆπ^m~ˆπⁿ, soa0 . . . am1 0.

43

Beweis : Existenz: absteigende Induktion nach m (mBndie maximale Zahl mit x> ˆπ^m~ˆπⁿ). Gilt m n, so ist nichts zu tun (wegen 0>M).

Sei nunm@n. Multiplikation mitπ^minduziert eine BijektionR~ˆπ Ð ˆ π^m~ˆπ^m1 (Proposition 6.1) Seix x ˆπ^m1> ˆπ^m~ˆπ^m1, seiam>M der Repr¨asentant des Urbildes vonxunter dieser Bijektion.

M` R //R~ˆπ //ˆπ^m~ˆπ^m1oooo ˆπ^m~ˆπⁿ

> > >

am //xoo Âx

Setzey xamπ^m ˆπⁿ >R~ˆπⁿ. Nach Konstruktion gilt danny> ˆπ^m1~ˆπⁿ, alsoy ⁿP¹

i m1aiπⁱ ˆπⁿ f¨ur gewisseai>M nach Induktionsvorraussetzung. Damitx ⁿP¹

i maiπⁱ ˆπⁿ, wie gew¨unscht.

Eindeutigkeit: Seiena0, . . . , an1, b0, . . . , bn1>M mitⁿP¹

i 0ˆaibiπⁱ> ˆπⁿ. AusⁿP¹

i 1ˆaibiπⁱ> ˆπundˆπⁿ` ˆπ

folgtˆa0b0 > ˆπ, dass heißta0 undb0vertreten diesselbe Klasse inR~ˆπ, alsoa0 b0. AusⁿP¹

i 2πⁱ> ˆπ²und

ˆπⁿ` ˆπ² folgt ˆa1b1π> ˆπ². Dies bedeutetˆa1b1 > ˆπ, also wiederum a1 b1. Fortsetzung ... ai bi ¦i.

Wie in Beispiel 12.1 ergibt sich aus dem Lemma: Ein Element in lim

Ð^n>NR~ˆπⁿ ist gegeben durch eine Folge

ŒⁿP¹

i 0a^ˆ_i^nπⁱ ˆπⁿ‘

n>N > L

n>NR~ˆπⁿ mit a^ˆ_i^n a^ˆ_i^n1 f¨ur alle i @ n. Mit anderen Worten: die Elemente in limÐR~ˆπⁿ entsprechen bijektiv den formalen Summen ^ªP

i 0aiπⁱ mit ai>M.

›P^ª

i 0aiπⁱ S ai>M  ¹¹ limÐⁿR~ˆπⁿ

> >

Pª

i 0aiπⁱ ( ŒⁿP¹

i 0aiπⁱ ˆπⁿ‘

n>N

Wir schreibenR limÐⁿR~ˆπⁿ

Lemma 12.2. Die nat¨urliche Abbildung R Ð^ϕ R ist injektiv. Auch R ist ein diskreter Bewertungsring, π ϕˆπist ein Ringelement inRÂ

F¨ur allen>Nist die nat¨urliche AbbildungR~ˆπ^m RÂ~ˆπ^mbijektiv.RÂist vollst¨andig.

Beweis : Kerˆϕ 9

n>Nˆπⁿ 0, also ist ϕ injektiv. F¨ur m > N ergibt sich aus den Definitionen RÂ~ˆπ^m limÐⁿR~ˆπⁿ, π^m ™ˆxnn>N S xn>R~ˆπⁿ, π^m, xn1 xn ˆπⁿ¹, π^minR~ˆπⁿ¹, π^mž. F¨urnCmistˆπⁿ, π^m

ˆπ^m ˆπ^m ˆπ^m. Ist daher ˆxnn>N ein Element der rechten Seite, so xm xn f¨ur alle n C m. Da-her ist xm > R~ˆπ^m ein Urbild von ˆxnn>N unter der Abbildung R~ˆπ^m R~ˆπÂ ^m. Diese Abbildung ist also surjektiv, folglich bijektiv. Insbesondere (f¨ur m 1) folgt, dass ˆπ ` ÂR ein maximales Ideal ist und R limÐⁿR~ˆπⁿlimÐⁿR~ˆπÂ ⁿ, dass heißtRÂistˆπ-adisch vollst¨andig.

Seien x ˆxnn undy ˆynn Elemente in R ˜0. W¨ahlen0>N mit xn0 x0xyn0 in R~ˆπⁿ⁰. Dann liegen x2n0 undy2n0 in ˆR~ˆπ²ⁿ⁰ƒˆˆπⁿ⁰~ˆπ²ⁿ⁰, damit x2n0 y2n0 x0 inR~ˆπ²ⁿ⁰, insbesonderexyx0 inR. Also istRÂinteger. InR, folglich auch in allenR~ˆπ^m ÂR~ˆπ^m, ist jedes Ideal von der Formˆπ^tf¨ur eint>N. Mit R limÐ^mR~ˆπÂ ^mfolgt daraus, dass auch inRÂjedes Ideal von der Formˆπ^t ˆπ^tf¨ur ein t>Nist. Damit ist RÂein lokaler Hauptidealring, das heißt: ein diskreter Bewertungsring.

2009-01-07 Beispiel (12.3). Sei R ein Dedekindring, p ` R ein Primideal x 0. Nach Korollar 5.7 ist die Lokalisierung R_p ein diskreter Bewertungsring, mit maximalem Ideal m_p. Nach Lemma 5.4 ist die nat¨urliche Abbildung R~p Ð Rp~mⁿp f¨ur jedesn>Nbijektiv. Folglich limÐ nR~pⁿlimÐRp~mⁿp ÂRp, und nach Beispiel 12.2 istRÂp

vollst¨andiger diskreter Bewertungsring. WIr haben EInbeittungenR0Rp0 ÂRp

Beispiel (12.4). In Beispiel 12.3 nun R Zundˆp pf¨ur eine Primzahlp. Der RingZp limÐⁿZ~pⁿZheißt der Ring der p-adischen ganzen Zahlen. Da ˜0, . . . , p1 ein Repr¨asentantensystem f¨ur Z~pZ Fp ist, haben wir in Beispiel 12.2, 12.3:

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To do:alles ok? kleiner(gleich?) kann ich nicht lesen... vonA. Dann hat man deine kanonische ProduktzerlegungAÂ L^r

i 1

AÂmi.

Beweis : F¨urixj undn>Nsindbⁿ_i undmⁿ_j koprim, folglichA~Iⁿ L^r

i 1A~mⁿi (chinesischer Restsatz). Daraus folgtAÂ limÐ nA~Iⁿ limÐn LA~mⁿ_i L^r

i 1limÐA~mⁿ_i L^r

i 1

AÂmi.

Vollst¨andige lokale Ringe haben (gegen¨uber allgemeinen lokalen Ringen) bessere strukturelle Eigenschaften.

Exemplarisch hierf¨ur ist der folgende Satz:

Satz 12.4. Sei A ein vollst¨andiger lokaler noetherscher Ring, sei B eine endliche A-Algebra (also als A-Modul endlich erzeugt). Dann ist die MengeM axˆBder maximalen Ideale von B endlich und die nat¨urliche Abbildung

B Ð L

p>M axˆBBp ist ein Isomorphismus.

Beweis : Seim das maximale Ideal von A,J mB`B das durchmin B erzeugte Ideal.

1. Schritt: B ist J-adisch vollst¨andig

Beweis: F¨ur ein A-Modul M definiere die m-adische Komplettierung als den A-Modul MÃ lim

Ð nM~mⁿM œˆxnn>N> L

n>NM~m^mM S xn xn1mⁿM in M~mⁿM¡

Es gen¨ugt zu zeigen: F¨ur jeden endlich erzeugten A-Modul M ist die nat¨urliche AbbildungM MÃ ein Isomorphismus. Da A noethersch ist, ist auch jeder endlich erzeugte A-Modul noethersch. Es existieren also s, t>Z_C0 und eine exakte SequenzA^s A^t M 0. F¨ur jedes n>Nist dann

sind aber Ψ1 und Ψ2 Isomorphismen, denn nach Voraussetzung

giltA ÂA, also auch

A^s ˆ ÂA^s Ã^‡A^s (* wegenˆA~mⁿ^sA^s~mⁿA^s) und ebensoA^t ÃA^t. Also istM MÃein Isomorphismus.

2. Schritt: F¨ur jedesp>M axˆBgilt:J bp undM axˆBist endlich.

Beweis: Ist die erste Behauptung bekannt, folgtM axˆB M axˆB~J. AberB~Jist eine endlich dimensonale Algebra ¨uber dem K¨orper A~p, hat als nur endlich maximale Ideale (z.B. mit dem chinesischen Restsatz). Es bleibt also, die erste Behauptung zu zeigen. Sei x>J und p>M axˆB. W¨are x¶p, so B ˆx p, es existieren alsoy > B und p> p mit 1 xyp, also 1xy ¶B. Zu n>N setze

F¨ur jedesn>Ngilt:

z_nˆ1xy 1 inB~Jⁿ(geometrische Reihe), damitzˆ1xy 1 in B, in Widerspruch zu 1xy¶B. Alsox>p, alsoJbp

3. Schritt: F¨urI 9

p>M axˆBpist B auchI-adisch vollst¨andig.

Beweis: Sei I ` B~J das Bild von I in B~J, also I der Durchschnitt aller maximalen Ideale der endlich dimensionalen A~p-AlgebraB~J. WegenI^rxI^r1 f¨ur aller>Nmit I^rx0 (Lemma von Nakayama;

Ubung) folgt¨ I^r 0 f¨ur einr>N. Das bedeutet I^r`J. Andererseits sehen wir J `I im 2. Schritt.

Damit limÐ nB~JⁿlimÐ nB~Iⁿ gem¨aß Lemma 12.7. Also folgt die Behauptung aus dem 1. Schritt.

4. Schritt: Lemma 12.5, der 2. und der 3. Schritt ergeben alle Behauptungen.

Lemma 12.5 (12.7). Sei B ein Ring, I,J Ideale mitI^r`J`I f¨ur einr>N. Dann gilt kanonisch

To do:nicht projlim?

limÐnB~Iⁿlim

n B~Jⁿ Beweis :

limÐ nB~Jⁿ limÐnB~ sind zueinander inverse Ringe

ˆxnJⁿn>N ( ˆxnIⁿn (sinvoll wegenJⁿ`Iⁿ )

ˆyrnJⁿn>N [ ˆynIⁿn (sinvoll wegenI^rn`Jⁿ )

Lemma (von Nakayama). Sei A ein Ring, JacˆA 9

mnM axˆAm das Jakobsonradikal vonA. Sei J `A ein Ideal. Dann sind ¨aquivalent:

1. J `JacˆA

2. F¨ur alle endlich erzeugtenA-ModulnM mitJ M M folgt:M 0 (In 12.6 2 1)

Beweis : Ubungserie 12 Aufgabe 1.¨

2009-01-12 Lemma 12.6 (12.8).

(a) IstAein Ring,f >A Xnormiert vom Gradn>N, dann gilt:AˆX~ˆfist frei vom Rangn

(b) SeiAein lokaler Ring,B eineA-Algebra, frei als A-Modul vom Rangn>N. AlsA-Algebra seiB durch ein α>Berzeugt, dann existiert ein normiertesf>A X, so dassX(αeinen IsomorphismusA X~ˆf B induziert.

Beweis :

(a) Seiα X>B A X~ˆfdie Restklasse vonX, dann ist™1, α, . . . , αⁿ¹žeineA-Basis vonB.

(b) Die Restklassen 1,2, . . . , αⁿ¹ >B~mB (mit m bA maximal) bilden eine Basis des n-dimensionalen A~ m-VektorraumesB~mB

Mit dem Nakayama Lemma folgt:™1, α, . . . , αⁿ¹žbilden ein Erzeugendensystem f¨urB alsA-Modul, denn:

M B~ @1, . . . , αⁿ¹AA,mM mB~ˆmB9 @1, . . . , αⁿ¹AA @1,. . . ,αⁿ¹AmB

@1,. . . ,αⁿ¹A (Isomorphiesatz)

ˆ@1, . . . , αⁿ¹A B~mB M M 0 @1, . . . , αⁿ¹A B

46

Es gibt eine Darstellung:α^{n n}P¹

i 0aiα^a mit ai>A definierefˆX XⁿⁿP¹

i 0aiXⁱ>A X fˆXliegt im Kern des Ringmorphismus

A X Ð B

> >

X z α

Mitˆafolgt AˆX~ˆfundB sind frei vom Rang nsomitA X~ˆf B (Surjektion) ist auch bijektiv.

Bemerkung. Anoethersch siehe ¨Ubung

A beliebiger lokaler Ring: daB frei ist, hat A X~ˆf B einen Schnitt, also A X~ˆf Aⁿ`N f¨ur einenA-ModulN. Mit Nakayama folgtN 0

Satz 12.7 (12.9 Lemma von Hensel). SeiAein vollst¨andiger lokaler Ring,m sein Maximalideal,k A~m und sei f > A X ein normiertes Polynom. Sei f g₁ⁿ¹ . . . gⁿ_r^r die Primfaktorzerlegung in k X der Reduktion f > k X mit normierten, paarweise verschiedenen gi > k X. Dann gibt es eindeutig bestimmte normierte PolynomeG₁, . . . , G_r>A Xmitf L^r

1 G_i undG_i gⁿ_iⁱ>k X

Beweis : Sei B A X~ˆf(endlicheA-Algebra), dann ist nach (12.6)B L

p>M axˆBBp ein Isomorphismus.

Ferner istB nach 12.8 a) alsA-Modul frei vom Rangn degˆf

Mit dem nachfolgenden Lemma gilt nun f¨ur allep>M axˆB:Bp ist ein freierA-Modul.

Aus Beweis 12.6 wissen wirmB ist in jedem Maximalideal vonB enthalten, also stehen die MengenM axˆB, M axˆB~mBin kanonischer Bijektion.

Nach 3.11 gilt:B~mB k x~ˆf L^r

1k X~ˆgⁿ_iⁱ, inbsondereM axˆB~mB ˜ˆg1, . . . ,ˆgr

Nach Konstruktion geht die Zerlegung B~mB L^r

1 k X~ˆg_iⁿⁱdurch Reduktion modulo m aus der Zerlegung

B L

p>M axˆBB_p hervor.

Wir k¨onnen also schreibenM axˆB ˜p1, . . . ,prmit

ˆ‡Bpi~mBpik X~ˆgⁿ_iⁱ ¦i Insbesondere giltrangAˆBpi dimkˆBpi~mBpi degˆgⁿ_iⁱ

Nach 12.8 b) existieren normierteGi>A Xmit degˆGi degˆgⁿ_iⁱundA X~ˆGi Bp_i

Reduktion modulom ergibt (*).

Da jedes Ideal ink Xdurch ein eindeutiges normiertes Polynom erzeugt wird, folgtGi g_iⁿⁱ. Ferner gilt:G1, . . . , Gr>kerA X BL^r

1 Bpi fSL^r

1 Gi

Da degˆf^fnormiertdegˆf P^r

1degˆg_iⁿⁱ P^r

1degˆGi degˆL^r

1 Gi f L^r

1 Gi, da beide Polynome normiert sind.

Lemma. Sei A ein lokaler Ring. Jeder direkte Summand eines freien A-Moduls von endlichem Rang ist ein freierA-Modul.

Beweis : Im Fall von Hauptidealringen folgt die Behauptung aus dem Hauptstruktursatz ( (komplettierte) Zahlringe sind diskrete Bewertungsringe, daher interessiert uns nur dieser Fall)

F¨ur beliebige lokale Ringe siehe ’Matsumura:Commutative Algebra’

Korollar 12.8. SeiA ein vollst¨andiger lokaler Integrit¨atsring mit Maximalidealm,K QuotˆA,k A~m.

(a) Seim>Zprim zur Charakteristikpvonk(ˆp, m 1)pA0 (min Zbeliebig, fallsp 0) Enth¨altkalle m-ten Einheitswurzeln ink, so enth¨altK allem-ten Einheitswurzeln inK.

(b) IstpA0 undq>p^NmitFq bk, so enth¨altK alleˆq471-ten Einheitswurzeln.

Beweis :

(a) enth¨alt k alle m-ten Einheitswurzeln, so zerf¨allt X^m1 ¨uberk in paarweise verschiedene Linearfaktoren (daˆm, p 1).

Aus 12.9 folgt:X^m1 zerf¨allt ¨uberA(also auch ¨uberK) in paarweise verschiedene Linearfaktoren a

(b) folgt aus a), daˆq1, p 1

Fqbkbedeutet, dass alleˆq1-ten Einheitswurzeln bereits inkenthalten sind (F_q zyklisch von Ordnung q1)

Beispiel. Qpenth¨alt alle ˆp1-ten Einheitswurzeln

z.B.: InQ5 existieren 2 Quadratwurzeln von1, denn Q5 enth¨alt alle vierten Einheitswurzeln.

Sindα1, α2>Z5die Nullstellen vonX²1 0, so ist

α12 mod 5 inZ5undα23 mod 5 inZ5, denn inF5: 2²1 3²1 0

Induktiv k¨onnen die 5-adischen Entwicklungen vonα1, α2 bestimmt werden:α1 ªP

n 0

Im Dokument Vorlesungsmitschriften der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie von Prof. Große-Kl¨onne Wintersemester 2008/2009 (Seite 43-48)