8 Die Klassenzahl

v₁

v_n

mit A GLnZ, also SdetAS 1.Daher ist die Definition volRⁿ~Λ volS

unabh¨angig von der Wahl von S.

Bemerkung. Der QuotientRⁿ~Λ ist ein Torus (versehen viaRⁿ Ð Rⁿ~Λ mit einem Haar’schen Maß) Lemma 7.2. To do:πST ok?

Sei Λ b Rⁿ ein vollst¨andiges Gitter, π Rⁿ Ð R~Λ die Quotientenabbildung und T b Rⁿ eine meßbare Teilmenge mitvolT AvolRⁿ~Λ. Dann ist πST incht injektiv

Beweis : Seien S und v1, . . . , vn wie eben. Zuy x1, . . . , qn >Zⁿ setzeSy y1v1. . .ynvn S. Dann gilt Rⁿ 8

y>ZⁿSy. Die Einschr¨ankungπSSS Ð Rⁿ~Λ bijektiv.

Sei ˜πdie VerkettungRⁿ Ð^π Rⁿ~Λ^π^S^S

Ð Sf¨ur jedesy>Zist dann die Einschr¨ankung ˜πSSy Sy Ð Sgegeben durchy1v1. . .ynvn s ( szus>S.

Insbesondere giltvolA volπ˜Af¨ur jede meßbare Teilmenge A inSy. W¨are ˜πST injektiv, so w¨are die Vereinigung ˜πT 8

y>Zⁿ˜πSy9Tdisjunkt, nud es w¨urde folgen volT vol 8

y>ZⁿSy9T Q

y>Zⁿ

volSy9T Q

y>Zⁿ

volπ˜Sy9T ^! volπ˜T BvolS volRⁿ~Λ

Also doch ˜πST nicht injektiv.

Definition 7.2 (zentral symmetrisch). Eine TeilmengeT bRⁿ heißt zentralsymmetrisch, fallsx>T f¨ur alle x>T

Satz 7.3 (Minkowski’scher Gitterpunktsatz). Sei Λb Rⁿ ein vollst¨andiges Gitter undT bRⁿ eine Konvexe Zentralsymmetrische Teilmenge mitvolT A2ⁿvolRⁿ~Λ.

Dann giltT9 Λ0 x g.

Beweis : F¨ur das vollst¨andige Gitter Λ 2Λ 2xSx>Λ in Rⁿ giltvolRⁿ~Λ 2ⁿvolR~Λ, also volT A volRⁿ~Λ. Nach Lemma 7.2 ist daherπST nicht injektiv, wobeiπ Ð Rⁿ~Λdie nat¨urliche Projektion.

Es existieren alsot1xt2 in T mitπt1 πt2, alsoP t1t2>Λ0.

Seip ¹₂P>Λ0. Da T zentralsymmetrisch ist, giltt₂>T. Da T konvex ist gilt damitP ¹₂P ¹₂t1¹₂t2 >T

F¨ur dieses Kapitel sei ein Zahlenk¨orper K fixiert. Es istOK ein Dedekindring und wir nennenClK ClOK dieKlassengruppe von K(Bezeichnungsmißbrauch!).

F¨ur ein IdealIx0 inOK heiße NI OKI ®O^K~IdieNorm von I.

Beispiel. To do:OKp uberpr¨¨ ufen Istp ein Primideal ungleich Null inOK, so p9Z p x0 f¨ur eine Primzahlp>Z.

[w¨arep9Z 0, so w¨are die Komposition Z Ð OK Ð OK~p injektiv, da sie auch endlich ist undOK~p ein K¨orper ist, w¨are auchZein K¨orper: Unsinn!]

Damit isOK~peine endliche K¨orpererweiterung vonFp undNp p^f^p^~^p

2008-11-17 Lemma 8.1. IstI p^ν₁¹ . . . p^ν_r^r die Primzerlegung eines IdealsIx0 inOK, so gilt:

NI Np1^ν¹ . . . Npr^ν^r InsbesondereNI @ ª

Beweis : Nach Satz 3.11 haben wirOK~I OK~p^ν₁¹. . .OK~p^νr^r, so das gleichr 0 angenommen werden darf.

Seip₁9Z pf¨ur eine Primzahl p, dann

Np^ν₁¹ OKp^ν₁¹ p^dim^Fp^O^K^~^p^ν¹¹^{P rop.6.1}p^ν¹^f^p¹^~^p Np1^ν¹

Korollar 8.2. SindI1, I2 Ideale ungleich Null inOK, so NI1, I2 NI1NI2 Lemma 8.3. F¨ur einα> OK0 giltNα SNK~QαS.

Beweis : Nach Korollar 4.7 istOK ein freier endlich erzeugterZ-Modul.

Seiω1, . . . , ωn eineZ-Basis vonOK. Schreibe

αω1

αωn

ω1

ωn

mit einernn-Matrix A mit Eintr¨agen inZ.

To do:alles ok?

Daraus folgt detA NK~Qα N_O_K_~Zα

Andererseits:SdetAS OK αnach der Theorie endlich erzeugterZ-ModuleElementarteilersatzdenn es istαω1 . . . αωn eineZ-Basis f¨urα.

Proposition 8.4. Sei M A0 derart, dass f¨ur jedes Ideal 0xIb OK ein α>I0mit SN_K_~_QαS BM NI. Dann ist die nat¨urliche Abbildung

0xIb OKIdealSNI @M Ð ClK ClOK

> >

I z I

surjektiv. Insbesondere ist dann®ClKB ®0xIb OKSNI BM @ ª

Beweis : Die Endlichkeit der Menge 0 x I b OKSNI B M folgt aus Lemma 8.1, da Np B 2 f¨ur alle Primidealepx0

Sei nunc>ClK eine Idealklasse. Aus der Definition von ClK ClOK(und des Begriffs ’gebrochenes Ideal’) folgt:

jedes Element inCl_K ist repr¨asentiert durch ein echtes Ideal inOK. Also existiert ein Ideal 0xIb OK mit (der Idealklasse) I c¹.

W¨ahleα>I0 mitSNαS BM NI(Voraussetzung!).

Eindeutige Primzerlegung von Idealen inOK ergibt, dass ein IdealJ b OK mit α I J existiert. Daf¨ur gilt J I¹ I¹ I¹ c inClK alsoNJLem8.3&Korol8.2

SNαS NI¹BM

Bemerkung. Wenn wirx 0xIb OKIdealSNτ @Mabsch¨atzen k¨onnen, haben wir ein Schranke f¨ur®ClK.

Wir m¨ussen also einM A0 finden, dass die Voraussetzungen von Proposition 8.4 erf¨ulltje kleiner, desto besser!

(dass heißt desto besser die Schranke f¨ur®ClK)

Wir werden solch ein M mit Hilfe der Minkowskischen ’Geometrie der Zahlen’ bestimmen, basierend auf einer EinbettungK0Rⁿ, n KQ.

Definition 8.1. Eine reelle Einbettungvon K ist ein K¨orperhomomorphismusσK RbC.

To do:nsubset?

Eine komplexe Einbettung von K ist ein K¨orperhomomorphismus τ K C mit τK Ø R. Ist τ eine komplexe Einbettung, so auchτ . Xτ.

Also k¨onnen wir schreibenHomK,C σ1, . . . , σr1, τ1, τ1, . . . , τr2, τr2 mit KQ n r12r2 mit reellen Einbettungenσi und komplexen Einbettungenτj.

Betrachte dieQ-lineare Abbildung

ι K Ð Rⁿ R^r¹R^2r²

> >

x z σ1x, . . . , σr1x,Reτ1x,Imτ1x, . . . ,Reτr2x,Imτr2x

Lemma 8.5. ιOKist ein Gitter inRⁿ undvolRⁿ~ιOK 2^r²» SdKS Beweis : Schreibeι ι1, . . . , ιn, also ιiK Rgegeben als

ιi ¢¨¨¨

¦¨¨¨¤

σ_i S 1BiBr₁

Reτj S i r12j1 mit 1BjBr2

Imτj S i r12j mit 1BjBr2

Seiα1, . . . , αn eineZ-Basis vonOK SeiA ιiaj1Bi,jBn >M atnn,R

Adiereι(die (r12j)-te Zeile) zur (r12j1)-ten Zeile, f¨ur alle 1BjBr2

Multipliziere dann dier12j-te Zeile mit (2i) f¨ur alle 1BjBr2

Addiere dann die (r12j1)-te Zeile) zur (r12j)-ten Zeile, f¨ur alle 1BjBr2

Resultat:

die MatrixB σiαjij>M atnn,C

wobei

σi ¢¨¨¨

¦¨¨¨¤

σi S 1BiBr1

τj S i r12j1 mit 1BjBr2

τj S i r12j mit 1BjBr2

Determinantengleichung:SdetAS 2^r²SdetBS.

Wegen HomK,C σ1, . . . , σn gilt, wie im Beweis zu Proposition 4.4, dass SdetBS »

dα1, . . . , αn

»d_K

Nach Proposition 4.4 gilt dK x 0, also ist A invertierbar, folglich ιαi, . . . , ιαn eine R-Basis von Rⁿ, also ιOK) ein vollst¨andiges Gitter ferner istPⁿ

i 1λiιαiS0Bλi@1 ein Fundamentalparallelepiped, damitSdetAS volRⁿ~ιOK

Korollar 8.6. Ist 0xIb OK ein Ideal, so ist ιIein Gitter in Rⁿ mit volRⁿ~ιI 2^r²»

SdKSNI. Wir definieren nun:

N Rⁿ R^r¹^2r² Ð R

> >

a1, . . . , ar, x1, y1, . . . , xr2, yr2 z L^r¹

i 1ai ^rL²

j 1x²_jy_j²

Aus unserer Definition folgtN_K_~_Qα Nιaf¨ur alleα>K

Proposition 8.7. Sei T b x>Rⁿ S SNxS B1 eine Konvexe und zentralsymmetrische kompakte Teilmenge.

Dann erf¨ullt M ²ⁿ²_vol^r²^»_T^S^d^K^S die Voraussetzung von Proposition 8.4, dass heißt f¨ur jedes Ideal 0x I b OK

existiert einα>I0 mitSN_K~QαS B²ⁿ²_vol^r²^»_T^S^d^K^S NI.

Beweis : F¨ur ein t >Rⁿ_A₀ ist mit T auch t T konvex, zentralsymmetrisch und kompakt und es gilt voltT tⁿvolT, ferner tT b x > RⁿSSNxS B tⁿ (da Ntx tⁿNx f¨ur x > Rⁿ). F¨ur t > R_A0 mit voltT tⁿvolT A 2ⁿvolRⁿ~ιI besagt Satz 7.3 (Minkowskis Gitterpunktsatz), dass tT 9 ιI0 x g. Da tT kompakt ist und ιI diskret, ist dieser Durchschnitt endlich. Es folgt, dass selbst f¨ur dasjenige t > R_A0 mit tⁿvolT 2ⁿvolRⁿ~ιInoch gilt:

tT9 ιI0 x g(vgl. ¨Ubungsblatt).

F¨ur dieses t existiert also einα>I0mit ια >tT, insbesondereSN_K_~_QαS SNιαS Btⁿ. Zusammen mit Korollar 8.6 folgt die Behauptung!

2008-11-19 26

Jede hinreichend kleine KugelT um den Ursprung imRⁿ erf¨ullt die Voraussetzung von Proposition 8.7.

Proposition 8.8. ClK ist endlich.

Definition 8.2 (Klassenzahl). hK ®ClK heißt die Klassenzahlvon K

Um via Proposition 8.4 eine bestm¨ogliche Kontrolle ¨uberClK (undhK) zu erhalten, suchen wir ein gr¨oßtm¨ogli-cheesT in Proposition 8.7, dass heißt mit gr¨oßtm¨oglichenvolT.

To do:Klammern?

Wir SetzenT x a1, . . . , ar1, x1, y1, . . . , xr2, yr2 >Rⁿ S ^rP¹

i 1SaiS 2 ^rP²

j 1

¼x²_jy²_jBn¡

Proposition 8.9. T ist zentralsymmetrich, konvex und kompakt, es giltSNxS B1 f¨ur allex>T undvolT

nⁿ

n! 2^r¹^π₂^r²

Korollar 8.10. In Proposition 8.4 kann M _n^n!n_π⁴^r²»

SdKS MK (Minkowski-Konstante) gew¨ahlt werden.

Beweis : Mit Proposition 8.7:

Beweis von Prop 8.9: Leicht: T ist zentralsymmetrisch, konvex und kompakt.

Zur Forderung SNxS B1 f¨ur x> T: Wir benutzen die Ungleichung ’das geometrische Mittel ist kleiner oder gleich dem arithmetrischen Mittel’: Jakobische (die Determinante der Transformationsmatrix) dieses Kordinatenwechsels istuj.

Damit volT1 ST1da1. . . dar1dx1dy1. . . dxr2dyr2

Es bleibt damit zu zeigen: P

Beispiel 8.11 (8.11.1). Bestimmung vonClK f¨urK Qº 5.

Mit Korollar 8.10 folgt jede Klasse ClK enth¨alt ein IdealIx0 mitNI B2.

GiltNI B2, so ist notwendig I prim undNI 2 und I liegt ¨uber dem Primideal 2Z>SpecZall dies folgt

Bemerkung. Seid>Z0,1 quadratfrei,K Qº d

(i) Seid@0 (also K ein ’imagin¨ar quadratischer Zahlk¨orper’).

Dann gilthK d> 1,2,3,7,11,19,43,67,163(Beweis von Hegener, der erst 1969 verstan-den wurde)

(ii) SeidA0 (also K ein ’reel quadratischer Zahlk¨orper’) Vermutung: es gibt unendlich vieledA0 mithK 1

Satz 8.12 (8.12 (Minkowski’sche Determinanten Schranke). F¨ur einen Zahlk¨orper K gilt»

SdKS A ^π₄^r² ⁿ_n!ⁿ To do:irgendwie haut die Nummerierung nicht hin...

Beispiel(8.11.1:). F¨urK Qº

5giltOK Z º

5undClK ClOK Z~2Z Beispiel(8.11.2).

Satz 8.14 (im Beispiel). Y² X³5 hat keine L¨osung inZ

Beweis Satz im Bsp: Sei x, y >Z² eine L¨osung. Ist x gerade, so y ungerade undy² 1 mod 4

^{. Also x}

ungerade.

G¨alte 5Sxund 5Sy, so 5²Sy²und 5²Ñx³5

Alsox, y Koprim inZ Wir rechnen nun inR Zº

5, woyº

5yº

5 x³ Seip>SpecR0mitpSyº

5undpSyº

5. DannpSx³, alsopSx, sowiepSyº

5yº

5S2y. Da x ungerade und pSx, muss pÑ 2, zusamen mitpS2yfolgt pSy

Widerspruch zu: x,y Koprim (in Z, also inZ º

5).

Also sind yº

5 undyº

5koprim in Zº

5. Daher folgt (aus yº

5yº

5 x³) mit der eindeutigen Primzerlegung im Dedekindrig R; es existieren IdealeI, J in R mitJ³ yº

5undyº 5 Aus I³ 1 J³inClR(es sind jayº

5undyº

5Hauptideale) und®ClR 2.

Aus Beispiel 8.11.1 folgt I 1 Jin ClR, dass heißtI undJ sind Hauptideale. WegenR 1folgt insbesondere yº

5 abº

5³ mit gewissen a, b> Z. Das bedeutet 1 3ba²5b³ b3a²5b², damit b 1, dann aber 3a²5 1

Bemerkung. Sei K beliebiger Zahlk¨orper, dann kann f¨ur Primzahlen p>Zgezeigt werden ( ¨Ubungsaufgabe):

pverzweigt in OK pSdK

Aus Korollar 8.13 folgt damit:

Satz. Es gibt keinen ¨uberQan allen Primidealen vonZunverzweigten Zahlk¨orper.

Im Dokument Vorlesungsmitschriften der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie von Prof. Große-Kl¨onne Wintersemester 2008/2009 (Seite 24-29)