Vorlesung ¨uber Kombinatorik und multiplikative Zahlentheorie

(1)

Zahlentheorie

Dieter Denneberg, Universit¨ at Bremen

23. Oktober 2005

(2)

Elementare

Abz¨ ahlfunktionen

1.1 Cartesische Produkte und Abbildungen

Im folgenden seien alle betrachteten Mengen endlich.¹(Wir vertrauen hier auf die naive Vorstellung des Begriffesendlich. Also keine formale Definition!) Als bekannt vorausgesetzt werden des weiteren die Begriffe n-tupel, Funktion (oderAbbildung),injektiv,surjektiv, bijektiv.

MitX1⊗X2 . . . ⊗Xn, definiert durch

X1⊗X2 . . . ⊗ Xn:={(x1, . . . xn) | xi ∈ Xi f ¨ur allei= 1, . . . , n}

wird das cartesische Produkt der MengenX₁,. . ., X_n bezeichnet.

F¨ur endlichesX seiXⁿ durchXⁿ:=X⊗X⊗ · · · ⊗ X

| {z }

n F aktoren

definiert.

Xⁿ ist also die Menge aller n–tupel ¨uberX.

Ist X eine endliche Menge, so bezeichne |X| die Anzahl der Elemente in X (auch Kardinalit¨at von X genannt). Wir nennen kurzX einen-Menge, wenn

|X|=n.

Es gilt:

Satz 1.1.1. SindX1, . . . , Xn endliche Mengen, so gilt:

|X₁⊗X₂⊗ · · · ⊗X_n|=|X₁| · . . . · |X_n|. (1.1) Folgerung 1.1.2. F¨ur endliches X gilt:

|Xⁿ|=|X|ⁿ (1.2)

Betrachtet manXals ein Alphabet, so kann manXⁿ als die Menge aller Wörter der Länge n überX auffassen.

1Viele der folgenden Begriffsbildungen ließen sich auch für beliebige Mengen durchführen, aber wir benötigen sie nur für endliche Mengen.

1

(3)

Eine Abbildung f :X →Y (X,Y endl. Mengen) kann man auf folgende zwei Weisen interpretieren:

Interpretation 1: f verteilt die Elemente von X auf Schubladen (die Elemente

vonY). 2

Interpretation 2:

Indem wir die Elemente vonX durchnummerieren, können wir o.E.X auffassen als die Menge der ersten n natürlichen Zahlen: X = {1, . . . , n}. Unter dieser Interpretation können wir f mit dem n–tupel (f(1), . . . , f(n))∈ Yⁿ uber¨ Y

identifizieren. 2

Bemerkung 1.1.3. f :X → Y ist bijektiv⇒ |X|=|Y| . Anzahlen kann man als ¨Aquivalenzklassen von Mengen auffassen:

X∼ Y ⇔ ∃f :X→ Y bijektiv (1.3)

2 BezeichneY^X die Menge aller Abbildungen vonX inY, also

Y^X:={f|f :X → YAbb.} ∼ Y^|X|. Dann gilt:

Satz 1.1.4.

|Y^X|=|Y|^|X| (1.4)

Def.: Eine Permutation vonX ist eine bijektive Abbildungf :X → X . 2 Sei X = {1, . . . , n} und f : X → X eine Permutation. Der Abbildung f entspricht dann (siehe oben) ein n–tupel (f(1), . . . , f(n)) ∈ Xⁿ, in dem die f(i), i= 1, . . . , npaarweise verschieden sind.

H¨aufige Schreibweise:

f =

1 2 · · · n

f(1) f(2) · · · f(n)

.

Alle Permutationen einer n–elementigen Menge X (also z.B. X ={1, . . . , n}) bilden bzgl. der Hintereinanderausf¨uhrung von Abbildungen eine Gruppe.

Def.: Diese Gruppe nennt man die symmetrische Gruppe der Ordnungn. Sie

wird mitS_n bezeichnet. 2

Jede endliche Gruppe ist Untergruppe einer symmetrischen Gruppe!

Es gilt nun:

Satz 1.1.5.

|Sn|=n! (1.5)

(4)

Zur Erinnerung:

n! =

n(n−1)· · · · ·2·1 n >0

1 n= 0

(Sprechweise für n!: Fakultät vonnoder einfach n–Fakultät.)

(Für negative ganze Zahlen und für nicht–ganze Zahlennistn! zunächst nicht definiert. (Siehe jedoch die Γ–Funktion.))

Beweis. Sei oBdAX ={1, . . . , n}. Fürf(1) gibt esnMöglichkeiten, fürf(2)

dann nochn−1 . . . 2

Ebenso sieht man ein:

Satz 1.1.6. Sei |X|=n. Die Anzahl der k–tupel aus X ohne Wiederholungen istn(n−1)· · ·(n−k+ 1).

1.2 Teilmengen

SeiX eine endliche Menge.

Def.: P(X) :={A|A⊂ X}heißt Potenzmenge vonX. 2 NebenP(X) ist auch die Schreibweise 2^X gebr¨auchlich.

Begr¨undung:

Fasst man 2 als die 2–elementige Menge {0,1} auf, so besteht 2^X aus allen Abbildungen vonX in diese Menge, d.h. eine Abbildung aus 2^X wird dadurch festgelegt, dass man jedem Element von X entweder 0 oder 1 zuweist. Wir ordnen einer solchen Abbildung die Menge aller Elemente von X zu, die auf 1 abgebildet werden. Diese Zuordnung von 2^X inP(X) ist offensichtlich bijektiv.

Nebenbei haben wir damit:

Satz 1.2.1.

|P(X)|= 2^|X| (1.6)

Aufgrund unserer obigen ¨Uberlegung geh¨ort zu jeder Teilmenge Avon X eine Funktion fA :X → {0,1}. Man nennt fA die charakteristische Funktion oder auch Indikatorfunktion von A.

Insbesondere gilt also für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer Menge immer echt größer ist als die Menge selbst. G. Cantor hat bewiesen, dass diese Aussage für beliebige (nicht nur endliche) Mengen gilt.

Darstellung vonP(X) als Bin¨arzahl.

Sei wiederX eine endliche Menge, die wir mit 0 beginnend durchnummerieren:

X ={0,1, . . . , n−1}

Wir definieren nun eine Abbildung von P(X) in die Menge{0,1, . . . ,2ⁿ−1}:

(5)

P(X)→ {0,1, . . . ,2ⁿ−1}

A7→

n−1

X

k=0

f_A(k)2^k=:n_A

Diese Abbildung ist (offensichtlich) bijektiv. Die Umkehrabbildung erh¨alt man so:

Istk∈ {0,1, . . . ,2ⁿ−1}, so besitztkeine eindeutige Darstellung der Form k=

n−1

X

k=0

ak2^k, ak ∈ {0,1}

A_k ∈ P(X) sei nun definiert durch

Ak:={x∈X |ax= 1}

Es gelten dann:

nA_k=k und A_n_A=A

Wird X “nach oben” vergr¨oßert, so bleiben diese Zuordnungen offensichtlich

unver¨andert. 2

Geometrische Darstellung vonP(X).

SeiX ={1,2, . . . , n}. Dann haben wir, wie oben gesehen:

P(X)' {0,1}^X ' {0,1}ⁿ⊂Rⁿ

Also entspricht jeder Teilmenge vonX ein Eckpunkt des n-dimensionalen Ein- heitsw¨urfels imRⁿ.

Beispiel f¨urn= 3:

??? 2

Def.: F¨urx∈R, k∈Zist “x ¨uber k” definiert durch:

x k

:=

( x(x−1)···(x−k+1)

k(k−1)···1 k≥0

0 k <0.

2 Speziell f¨urn, k∈N0 undk≤nhaben wir:

n k

= n!

k!(n−k)!

Insbesondere gilt:

n 0

= n

n

= 1

(6)

Def.: ⁿC_k :=| {A⊂X| |A|=k} |, 0≤k≤n, bezeichnet die Anzahl derk–Mengen in dern–MengeX. Satz 1.2.2.

nCk = n

k

Beweis. SeiM_k die Menge aller k-tupel ohne Wiederholungen von Elementen ausX:

M_k:={(x₁, . . . , x_k)|x_i∈X, x_i6=x_j f¨uri6=j}

Nach Satz 1.1.6 gilt|Mk|=n(n−1)· · ·(n−k+ 1).

Die Abbildungv:M_k→ P(X) sei definiert durch:

v((x1, . . . , xk)) :={x1, . . . , xk} (“vergiss die Anordnung”)

Nun giltv((x1, . . . , xk)) =v((y1, . . . , yk)) gdw. (x1, . . . , xk) eine Permutation von (y1, . . . , yk) ist.

Also hat jede k–Menge {x1, . . . , xk} ∈ P(X) genau k! Urbilder unterv (Satz 1.1.5). Damit ergibt sich unmittelbar die Behauptung. 2 Eigenschaften von

n k

:

Satz 1.2.3. Seienk, n∈N0, k≤n. Dann gelten:

(i)

n k

= n

n−k

(ii) k n

k

= n

n−1 k−1

f¨ur k >0

(iii)

n+ 1 k

= n

k−1

+ n

k

f¨ur k >0

(iv)

n

X

k=0

n k

= 2ⁿ

(v)

n

X

k=0

n k

2

= 2n

n

Beweis. Grunds¨atzlich bieten sich zwei Beweismethoden an, um die Formeln zu beweisen:

1. algebraisch

2. mit Mengenbetrachtungen (siehe Satz 1.2.2) Wir w¨ahlen hier die (anschaulichere) 2. Methode.

(i) Ein Team von k Schülern aus einer Klasse von n Schülern auswählen ist dasselbe wie die n−knicht zum Team gehörigen Schüler auszuwählen.

(7)

(ii) Ein Team von k auswählen und dann einen Kapitän bestimmen ist dasselbe wie zuerst einen Kapitän zu wählen und dann den Rest des Teams.

(iii) Die Klasse bestehe aus n “normalen” und einem “besonderen” Sch¨uler.

Nun gibt es _k−1ⁿ

Teams aus kSch¨ulern, die den “Besonderen” enthalten und

n k

Teams, die ihn nicht enthalten.

(iv) siehe Satz 1.2.2

(v) Die Klasse bestehe aus nJungen und n Mädchen. Jede n-elementige Aus- wahl aus diesen 2n Schülern besteht aus k Mädchen und n−k Jungen für ein k zwischen 0 und n. Für ein festes solches k gibt es dafür offensichtlich

n k

n n−k

(i)

= n k

²

M¨oglichkeiten. Summation ¨uber alle k ergibt die Behauptung.

2 Die Rekursionsformel (iii) liefert das Pascalsche Dreieck ⁿ_k

:

0 1 2 3 4 5 . . . k Zeilensumme

0 | 1 1

1 | 1 1 2

2 | 1 2 1 4

3 | 1 3 3 1 8

4 | 1 4 6 4 1 16

5 | 1 5 10 10 5 1 32

· · · | · · · ·

n | 1 · · · 1 2ⁿ

nl¨auft hier von oben nach unten,kvon links nach rechts.

Ist ∆ definiert durch:

(∆f)(n) :=f(n+ 1)−f(n) f¨urf :N0→R so haben wir also

∆ n

k

= n

k−1

Das hat eine Analogie im kontinuierlichen Falle in der Potenzreihenentwicklung vone^x:

e^x= 1 +x+x² 2! +x³

3! +. . . +xⁿ n! + . . . (Jede Teilfunktion ist Ableitung der folgenden Funktion.)

1.3 Der Binomische Lehrsatz

Als Verallgemeinerung von Satz 1.2.3 (iv) zeigen wir:

Satz 1.3.1.

(1 +t)ⁿ =

n

X

k=0

n k

t^k, n∈N0

Beweis. (1)

F¨urn= 0 ist nichts zu zeigen. Sei alson >0:

(8)

Dann haben wir (1 +t)ⁿ= (1 +t)(1 +t)· · ·(1 +t) mitnFaktoren. Multipliziert man dieses Produkt nach den Regeln des Distributivgesetzes aus, so sieht man, dass der Faktor von t^k gerade gleich ⁿ_k

ist (da es ⁿ_k

M¨oglichkeiten gibt, den Faktort aus dennFaktorenk mal zu w¨ahlen). 2 Beweis. (2)

Wir benutzen Induktion nachn. Der Falln= 0 ist trivial. Die Behauptung gelte also f¨urn. Wir zeigen nun, dass die Formel auch f¨urn+ 1 gilt:

(1 +t)ⁿ⁺¹ = (1 +t)ⁿ(1 +t)

=

n

X

k=0

n k

t^k

! (1 +t)

=

n

X

k=0

n k

t^k+

n+1

X

j=1

n j−1

t^j

= 1 +

n

X

j=1

( n

j

+ n

j−1

)t^j+tⁿ⁺¹

= 1.2.3 (iii)

n+1

X

j=0

n+ 1 j

t^j

2 Neuer Beweis von Satz 1.2.3 (ii):

Zun¨achst haben wir:

n(1 +t)ⁿ⁻¹= d

dt(1 +t)ⁿ=

n

X

k=1

k n

k

t^k−1

Andererseits:

n(1 +t)ⁿ⁻¹=n

n−1

X

j=0

n−1 j

t^j=n

n

X

k=1

n−1 k−1

t^k−1

Ein Koeffizientenvergleich ergibt dann die Beh. 2 Folgerung 1.3.2. GelteX 6=∅. Dann gilt:

| {A⊂X | |A| ungerade} |=| {A⊂X | |A| gerade} |=(1.2.1) 2^|X|−1 Beweis. Satz 1.3.1 f¨urt=−1 ergibt:

0 = (1−1)ⁿ =

n

X

k=0

n k

(−1)^k Es folgt:

n

X

k=0 kungerade

n k

=

n

X

k=0 kgerade

n k

Mit Satz 1.2.2 folgt die Beh. 2

2. Beweis. Sei zun¨achst|X|ungerade.

Jede Teilmenge von X mit ungerader Elementeanzahl entspricht genau einer Teilmenge mit gerader Elementeanzahl und umgekehrt (Komplementbildung).

Der Falln:=|X|gerade lässt sich auf den ungeraden Falln−1 zurückführen.

(9)

1.4 Stichproben

Wir besch¨aftigen uns hier mit folgender Frage: auf wieviele Weisen kann mank Objekte ausnObjekten ausw¨ahlen?

Wir unterscheiden folgende Varianten:

1. mit/ohne Zur¨ucklegen

2. Reihenfolge relevant/irrelevant

Beispiel 1.4.1. Ein Beispiel aus dem täglichen Leben ist die Lottoziehung (6 aus 49). Hier ist alsok= 6undn= 49, es wird nicht zurückgelegt und die Rei- henfolge ist ohne Bedeutung. Die Anzahl der Möglichkeiten ist ⁴⁹₆

= 13983816.

Satz 1.4.1. Die Anzahl der M¨oglichkeiten, k Objekte aus n Objekten auszuw¨ahlen ist in der folgenden Tabelle enthalten:

Reihenfolge relevant Reihenfolge irrelevant

mit Zur¨ucklegen a) n^k b) ^n+k−1_k

ohne Zur¨ucklegen c) n(n−1)· · ·(n−k+ 1) d) ⁿ_k Beweis.

a) trivial.

c) trivial oder Satz 1.1.6.

d) mit Satz 1.2.2.

b) siehe die folgenden Hilfss¨atze.

2 Hilfssatz 1.4.2. Die Anzahl der Stichproben mit Zur¨ucklegen und irrelevanter Reihenfolge (Fall b)) ist gleich der Anzahl dern-tupel (x1, . . . , xn) ausNⁿ0 mit Pn

i=1xi=k.

Beweis. In der Stichprobe vom Umfangkseii∈X ={1, . . . , n}mit H¨aufigkeit x_i∈N0gew¨ahlt, dann gilt offensichtlichPn

i=1x_i=k. 2

Hilfssatz 1.4.3.

{(x1, . . . , xn)∈Nⁿ0 |

n

X

i=1

xi=k}

=

n+k−1 n−1

=

n+k−1 k

Beweis. (1)

Sei Y die Menge {1,2, . . . , n+k−1}. Jedemn-tupel (x1, . . . , xn)∈ Nⁿ0 mit Pn

i=1=kordnen wir folgende n−1-Auswahl inY zu: f¨ur j= 1, . . . , n−1 sei y_j:=j+Pj

i=1x_i.

Man ¨uberlegt sich leicht, dass auf diese Weise eine 1-1-Beziehung hergestellt

wird. (Illustration!) 2

(10)

Beweis. (2)

Bezeichne P_kⁿ die Anzahl der n-tupel ausNⁿ0 mit Elementsumme k. Dann gilt offensichtlich:P_kⁿ=P_kⁿ⁻¹+P_k−1ⁿ⁻¹+· · ·+ 1. Eine geeignete Induktion lefert dann

die Behauptung. 2

Satz 1.4.4. Sei f(n) die Anzahl der geordneten Stichproben beliebiger L¨ange aus einer Menge von nObjekten ohne Zur¨ucklegen. Dann gilt:

f(n) =ben!c

Anmerkung. Es soll eine Stichprobe der L¨ange 0 geben.

Im Satz wird von folgender Definition Gebrauch gemacht:

Def.Für reellesxbezeichnebxcdie größte ganze Zahl, die kleiner oder gleichx ist. Entsprechend bezeichne dxedie kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich xist.

Genau f¨ur ganzexgiltbxc=x=dxe.

Beweis. Es gilt mit Satz 1.4.1 b) f(n) =

n

X

i=0

n!

(n−i)! =n!

n

X

k=0

1

k! (Partialsumme vonn!e)

Nun sch¨atzen wir die Differenz von f(n) und en! unter Benutzung der geome- trischen Reihe ab:

0< en!−f(n) = 1

n+ 1+ 1

(n+ 1)(n+ 2)+· · ·

< 1

n+ 1+ 1

(n+ 1)²+· · ·

= 1

n

≤ 1

Es folgt die Behauptung. 2

1.5 Aquivalenzrelationen und Ordnungen ¨

SeiX eine beliebige (nicht notwendig endliche) Menge.

Def.: Eine(zweistellige) Relationauf X ist eine TeilmengeRvonX².

Beispiel 1.5.1. Relationen geh¨oren zu den Grundstrukturen der Mathematik.

Hier ein paar Beispiele:

1. Die leere Relation:∀x, y∈X: (x, y)∈/ R, m.a.W.:R ist die leere Menge.

2. Die Allrelation:∀x, y∈X: (x, y)∈R, m.a.W.: R=X². 3. Die Kleiner-Relation aufR:∀x, y∈R: (x, y)∈R⇔x < y.

(11)

4. Die Teilmengenrelation auf P(X):∀x, y⊂X: (x, y)∈R⇔x⊂y 5. Die Relation aufZ, zu der ein Paar(x, y)genau dann geh¨ort, wennx=y

modnf¨ur ein festesn∈Ngilt.

Def.: Eine RelationRauf X heißt:

reflexiv gdw ∀x∈X (x, x)∈R

irreflexiv ∀x∈X (x, x)∈/R

symmetrisch ∀x, y∈X (x, y)∈R⇔(y, x)∈R

antisymmetrisch ∀x, y∈X (x, y)∈R∧(y, x)∈R⇒x=y transitiv ∀x, y, z∈X (x, y)∈R∧(y, z)∈R⇒(x, z)∈R trichotom ∀x, y∈X (x, y)∈R∨x=y∨(y, x)∈R

Aquivalenzrelation¨ Rist reflexiv, symmetrisch und transitiv (partielle) Ordnung Rist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv totale (oder lineare) Ordnung Rist eine trichotome partielle Ordnung

2 IstR eine Relation aufX, so schreibt man statt (x, y)∈Rh¨aufigxRy.

Sei nunReine ¨Aquivalenzrelation aufX, x∈X. Dann nennt man R(x) :={y∈X|xRy}

die ¨Aquivalenzklasse vonx.

Je zwei ¨Aquivalenzklassen sind entweder gleich oder sind disjunkt. F¨urx, y∈X giltR(x) =R(y)⇔xRy.

Mit X/R wird die Menge der ¨Aquivalenzklassen bezeichnet. Wir haben dann eine nat¨urliche Projektion:

X → X/R

x 7→ R(x)

Beispiel 1.5.2. Sei neine positive ganze Zahl. Dann wird eine ¨Aquivalenzre- lation Rn auf Zdefiniert durch:

∀x, y∈Z: (x, y)∈Rn⇔x−y∈nZ

(nZ sei die Menge aller Vielfachen vonn:nZ={0, n,−n,2n,−2n, . . .}.) In diesem Falle bilden dieRn(0), . . . , Rn(n−1)s¨amtliche (n) ¨Aquivalenzklassen vonRn. StattZ/Rn schreibt man in diesem Falle gernZ/nZ.

Def.:EinePartition(Zerlegung, Unterteilung) vonXist ein SystemS ⊂ P(X) mit:

(P1) ∀A∈ S:A6=∅

(P2) ∀A, B∈ S:A6=B⇒A∩B=∅ (P3) S

A∈SA=X.

2 Im Grunde ist eine ¨Aquivalenzrelation auf X nichts anderes als eine Partition vonX:

(12)

Satz 1.5.1. SeiReine ¨Aquivalenzrelation aufX. Dann istX/Reine Partition vonX.

Sei umgekehrtS eine Partition vonX. Dann definiert R:={(x, y)∈X²|∃A∈ S:x, y∈A}

eine ¨Aquivalenzrelation auf X und es giltX/R=S.

Beweis. Alles trivial. 2

Def.: Die Bellsche ZahlBn ist die Anzahl der Partitionen (und damit also der Aquivalenzrelationen) auf einer¨ n-MengeX. (siehe Wikipedia)

2 Beispiel 1.5.3. Die ersten Werte sind: B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5: Sei X ={1,2,3}. Die 5 Partitionen sind:

{X}

{{1,2},{3}}

{{1,3},{2}}

{{2,3},{1}}

{{1},{2},{3}}

Satz 1.5.2.

Bn=

n

X

k=1

n−1 k−1

B_n−k, n≥1 (Rekursionsf ormel)

Beweis. SeiX ={1,2, . . . , n}undMn⊂ P(X) die Menge der Teilmengen von X, die das Elementnenthalten. Zu jeder PartitionS vonX gehört ein Element von M_n, nämlich das Element vonS, das n enthält. Eine Menge M aus M_n mit k Elementen hat bei dieser Zuordnung genauB_n−k Urbilder. Andererseits gibt es ⁿ⁻¹_k−1

k-Mengen in Mn. Daraus folgt die Beh. 2 Beispiel 1.5.4.

B4= 3

0

B3+ 3

1

B2+ 3

2

B1+ 3

3

B0= 15 Satz 1.5.3. SeiR eine totale Ordnung auf der n-MengeX.

Dann gibt es genau eine NummerierungX={x₁, . . . , x_n}, so dass(x_i, x_j)∈R miti≤j ¨aquivalent ist.

Folgerung 1.5.4. Auf einer n-Menge gibt es genaun! totale Ordnungen.

Beweis. (Satz 1.5.3)

Wir zeigen zun¨achst: es gibt genau ein letztes ElementxinX, d.h. ein Element x, so dass aus (x, y)∈R notwendigx=y folgt.

Existenz.

Angenommen, es g¨abe kein letztes Element. Dann g¨abe es zu jedemxeinymit x6=y und (x, y)∈R.

(13)

Wähle nunx₁ beliebig und, wennx_i schon gewählt ist,x_i+1 so, dassx_i+16=x_i und (x_i, x_i+1)∈Rgilt. Aufgrund der Transitivität vonRgilt dann (x_i, x_j)∈R für allei, j miti < j.

Da X endlich ist, k¨onnen nicht alle xi verschieden sein. Also gibt es i, j mit i 6= j und x_i = x_j. Sei oBdA i < j. Dann muss nach Konstruktion der x_i auch i+ 1 < j gelten. Aus (x_i, x_i+1)∈ R und (x_i+1, x_j) ∈R folgt dann aber x_i=x_i+1. Widerspruch!

Eindeutigkeit.

Seien x und x⁰ letzte Elemente. Aus x 6= x⁰ w¨urde wegen der Trichotomie (x, x⁰) ∈R oder (x⁰, x) ∈ R folgen. In beiden F¨allen folgte wiederum x= x⁰. Also mussx=x⁰ gelten. Der Rest des Beweises ist nun klar. 2

(14)

Bellsche Zahl, Rekursionsformel, 11 Ordnung

partiell, 10 total(linear), 10 Partition, 10

Pascalsches Dreieck, 6 Permutation

Anzahl, 2 Def., 2 Relationen, 9

antisymmetrisch, 10 Aquivalenz-, 10 irreflexiv, 10 Ordnung

partiell, 10 total(linear), 10 reflexiv, 10 symmetrisch, 10 transitiv, 10 trichotom, 10 Symmetrische Gruppe, 2

13