4. ¨ Ubung Algebraische Zahlentheorie II

4. ¨ Ubung Algebraische Zahlentheorie II

Prof. Dr. Nebe (WS 11/12)

Zyklische Algebren. Sei Gal(L/K) =hσizyklisch der Ordnungn >1,

A:= (L/K, σ, a) :=

n−1

M

j=0

u^jL, xu=ux^σ, uⁿ =a∈L^∗.

Aufgabe 10. Seig :G×G→L^∗ ein normalisiertes Faktorensystem. Dann ist (L/K, g)∼= (L/K, σ, a) wobeia=Qn−1

j=0 gσ,σ^j ∈K^∗.

Folgern Sie, dass H²(G, L^∗) ∼= K^∗/N_L/K(L^∗). Der Exponent von H²(G, L^∗) teilt also insbesondere die Ordnung vonG.

Aufgabe 11. Seiena, b∈K^∗.

(a) (L/K, σ, a)∼= (L/K, σ^s, a^s) f¨ur alles∈Z, ggT(s, n) = 1.

(b) (L/K, σ,1)∼=K^n×n.

(c) (L/K, σ, a)∼= (L/K, σ, b)⇔b=N_L/K(c)af¨ur einc∈L^∗. (d) (L/K, σ, a)⊗K(L/K, σ, b)∼= (L/K, σ, ab)^n×n.

(e) Jedes [A]∈Br(L/K) hat eine Ordnung, dienteilt.

Aufgabe 12.

(a) Sei E/K weitere K¨orpererweiterung, F := E∩L, G =hσi = Gal(L/K), H:=hσ^ki= Gal(L/F) = Gal(EL/E).

Dann istE⊗K(L/K, σ, a)∼= (EL/E, σ^k, a).

(b) Sei E ⊇

|{z}r

L ⊇

|{z}s

K, G = Gal(E/K) = hσi, H = Gal(E/L) = hσ^ri, G = Gal(L/K) =hσH =σi=G/H.

F¨ur allea∈K^∗ ist (L/K, σ, a)∼(E/K, σ, a^r).

Abgabe: Freitag, den 4.11.2011, in der Vorlesung 10:00 Uhr im H¨orsaal III.