5. ¨ Ubung algebraische Zahlentheorie

5. ¨ Ubung algebraische Zahlentheorie

Prof. Dr. Nebe (SS 2016)

Aufgabe 1. Sei n∈Z_>1 und ζ_n eine primitive n-te Einheitswurzel. Zeigen Sie:

1. Sei n = p^r f¨ur eine Primzahl p. F¨ur je zwei zu p teilerfremde Zahlen i, j ∈Z ist dann (1−ζ_nⁱ)/(1−ζ_n^j)∈Z[ζ_n]^∗.

2. Sei n keine Primzahlpotenz. Dann ist (1−ζ_n) ∈ Z[ζ_n]^∗. Genauer gilt Q

i∈(Z/nZ)^∗(1−ζ_nⁱ) = 1.

Hinweis zu (b). SeienT ={d ∈Z_>1 :d|n}undP ={t∈T |t ist Primzahlpotenz}.

Dann ist n = Pn−1

i=0 1ⁱ = Q

i∈P Φ_i(1)·Q

i∈T−P Φ_i(1). Folgere Φ_i(1) ∈ Z^∗ f¨ur alle i∈T −P.

Aufgabe 2. Es seien K ⊆L⊆M algebraische Zahlk¨orper undpEZ_M ein Primideal. Weiter sei P=p∩ZL. Zeigen Sie:

1. e_M/K(p) =e_M/L(p)·e_L/K(P) 2. f_M/K(p) = f_M/L(p)·f_L/K(P)

Aufgabe 3. Sei K =Q(ζ₅,√

2). Weiter seip∈ {2,3,5,11} und pEZ_K ein Primideal das p enth¨alt. Bestimmen Sie die Zerlegungs- und Tr¨agheitsgrade sowie die Zerlegungs- und Tr¨agheitsgruppen von p.

Aufgabe 4. Es seien a und b gebrochene Ideale in einem algebraischen Zahlk¨orper K. Zeigen Sie:

1. Es existierenx, y ∈K^∗ so, dassxaund yb ganze teilerfremde Ideale von Z_K sind.

2. Es ista⊕b∼=ab⊕Z_K alsZ_K-Moduln.

3. a ist ein projektiver Z_K-Modul.