Algebraische Zahlentheorie 8. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SS 2010
Prof. Dr. J. H. Bruinier 23. Juni 2010
Dipl.-Math. E. Hofmann
Gruppenübung
Aufgabe G1
Sei K=Qund L=Q(ζ5)der fünfte Kreisteilungskörper, mitζ5 einer primitiven5ten Einheits- wurzel. Für den GanzheitsringOL =L∩Ωgilt OL =Z[ζ5](vergleiche Blatt 4).
Untersuchen Sie das Zerlegungsverhalten der Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Bestimmen Sie die Primideale vonOL, welche über diesen Primzahlen liegen.
Aufgabe G2
Es seien K ⊂L Zahlkörper undOK ⊂ OL deren Ganzheitsringe.
Zeigen Sie: SindaundbIdeale von OK, so gilta=aOL∩ OK unda|b⇐⇒aOL |bOL. Aufgabe G3
SeienK,OK und L,OL wie in Aufgabe G2.
Beweisen Sie: Zu jedem ganzen IdealAvonOL gibt es einθ ∈ OL mit zuAteilerfremdem Führer F={α∈ OL ;αOL ⊆ OK[θ]}, so dass L=K[θ].
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