Algebraische Zahlentheorie 11. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SS 2010
Prof. Dr. J. H. Bruinier 14. Juli 2010
Dipl.-Math. E. Hofmann
Gruppenübung
Aufgabe G1
Beweisen Sie die beiden sogenannten „Ergänzungssätze“ zum quadratischen Reziprozitätsgesetz:
Für eine ungerade Primzahlp gilt
−1 p
= (−1)p−12 sowie 2
p
= (−1)p28−1.
Hinweis:Rechnen Sie zur Bestimmung von 2
p
im RingZ[i]der Gaußschen Zahlen.
Aufgabe G2
Zeigen Sie: Jeder quadratische ZahlkörperQ(p
d)ist in einem KreisteilungskörperQ(ζn)enthal- ten. Dabei istζn eine primitivente Einheitswurzel.
Aufgabe G3 (EULER, 1737)
Für die Werte der Riemannschen Zetafunktion an den positiven geraden Stellens=2k, k=1, 2, 3, . . . gilt
ζ(2k) = (−1)k+1(2π)2k 2(2k)!B2k.
Die dabei auftretendenBernoulli-ZahlenBk sind über die Taylorreihenentwicklung
z
exp(z)−1 =B0+B1z+ X∞ k=1
B2k (2k)!z2k
definiert, man hatB0=1undB1=−12 sowie B2k+1=0für allek≥1.
Benutzen Sie zum Beweis der Eulerschen Formel die Partialbruchentwicklung des Kotangens,
πcotπz= 1 z +
X∞ n=1
2z z2−n2. Hinweis:Per Definition des Kotangens hat man
zcotz=izexp 2iz+1
exp 2iz−1= 2iz
exp 2iz−1+iz.
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Aufgabe G4
Zeigen Sie, dassP
pprim 1
p divergiert. Folgern Sie, dass es mehr Primzahlen als Quadratzahlen gibt.
Hinweise: Betrachten Sielogζ(s) und verwenden Sie die Eulerprodukt-Entwicklung von ζ(s). Führen Sie den Grenzübergangs→1aus.
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