Universität Konstanz Alexander Taveira Blomenhofer Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2019
Übungsblatt 11 zur Zahlentheorie
Aufgabe 1.Ist der OberringZh
1+√
−5 2
i
vonO−5
=
Z[ √
−
5]
ein Gitter?Aufgabe 2.Seix
∈
Cmitx3+
x2−
2x+
8=
0 undK:=
Q(
x)
.(a) Zeige, dass f :
=
X3+
X2−
2X+
8 das Minimalpolynom vonx überQist.(b) Zeige, dassv :
= (
1,x,x2)
eine Basis desQ-VektorraumsKist.(c) Bestimme die Darstellungsmatrix desK-Vektorraumendomorphismus K
→
K, a7→
a(
3x2+
2x−
2)
bezüglich der Basisv.
(d) ZeigedK|Q
(
1,x,x2) = −
4·
503 und folgeredK|Q(
1,x,y) = −
503 füry:=
x2+2x. (e) Rechne nach, dassx2=
2y−
x, xy=
x−
4 undy2=
y−
2x−
2 gilt.(f) Zeige, dassM :
=
Z+
Zx+
Zyein multiplikatives Gitter inK ist.(g) Folgere, dassOK
=
M.(h) Zeige, dass es für jedesz
∈
Mein a∈
M und einλ∈
Zgibt mitz2=
λz+
2a.(i) Zeige, dass für jedesz
∈
OK die DiskriminantedK|Q(
1,z,z2)
gerade ist.(j) Folgere, dass es keinz mitOK
=
Z[
z]
gibt.Abgabebis Mittwoch, den 3. Juli 2019, um 11:44 Uhr in die Zettelkästen neben F411.
