Universität Konstanz Alexander Taveira Blomenhofer Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2020
Übungsblatt 11 zur Kommutativen Algebra
Aufgabe 1.SeiRein kommutativer noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idealm der Krulldimensionn. Seiena1, . . . ,an
∈
R. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:(a) a1, . . . ,anbilden ein Parametersystem vonR.
(b) a1, . . . ,anerzeugen einm-primäres Ideal von R.
Aufgabe 2. Sei R ein kommutativer noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Seien a1, . . . ,ar
∈
m. Zeige:(a) dimR
≥
dimR/(
a1, . . . ,ar) ≥ (
dimR) −
r(b) Genau dann kann a1, . . . ,ar zu einem Parametersystem von R ergänzt werden, wenn dim
(
R/(
a1, . . . ,ar)) = (
dimR) −
r.(c) Ista1, . . . ,areine Nichtnullteilerfolge für denR-Modul R, so dim
(
R/(
a1, . . . ,ar)) = (
dimR) −
rund a1, . . . ,ar kann daher gemäß (b) zu einem Parametersystem von R ergänzt werden.
Aufgabe 3.SeiRCohen-Macaulay-Ring mit maximalem Idealmund seiena1, . . . ,ar
∈
m. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:(a) a1, . . . ,arbilden eine Nichtnullteilerfolge für denR-Modul R.
(b) dim
(
R/(
a1, . . . ,ar)) = (
dimR) −
r(c) a1, . . . ,arkönnen zu einem Parametersystem von Rergänzt werden.
Insbesondere sind die Parametersysteme vonRgerade die nichtverlängerbaren Nicht- nullteilerfolgen inmfür denR-Modul R.
Abgabebis Freitag, den 10. Juli, um 11:44 Uhr in die digitalen Briefkästen.
