Universität Konstanz Alexander Taveira Blomenhofer Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2020
Übungsblatt 4 zur Kommutativen Algebra
Aufgabe 1.SeiRein kommutativer Ring,Mein R-Modul,p
∈
suppMundq∈
specR mitp⊆
q. Zeigeq∈
suppM.Aufgabe 2.Bestimme für denC
[
X,Y]
-Modul M:=
C[
X,Y]
/(
X2,XY)
möglichst expli- zit(a) ass
(
M)
, (b) supp(
M)
.Aufgabe 3.Ein Modul heißtendlich präsentierbar, wenn er isomorph ist zu einem Quo- tienten eines freien Moduls von endlichem Rang modulo einem e.e. Untermodul. Sei Rein Ring und M einR-Modul. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind:
(a) Mist isomorph ist zu einem Quotienten eines freien Moduls von endlichem Rang modulo einem e.e. Untermodul.
(b) Es gibt eine exakte Sequenz der FormRn
→
Rm→
M→
0 mitm,n∈
N0.Aufgabe 4.Zeige, dass e.e. Moduln über einem noetherschen Ring stets endlich prä- sentierbar sind.
Aufgabe 5.Für alle R-ModulnM,N,Pund Homomorphismen f: M
→
Nbetrachten wir denR-ModulhomomorphismusHom
(
f,P)
: Hom(
N,P) →
Hom(
M,P)
, g7→
g◦
f. SeiPeinR-Modul. Zeige:(a) Hom
(
idM,P) =
idHom(M,P) für alleR-Moduln Mund P,(b) Hom
(
g◦
f,P) =
Hom(
f,P) ◦
Hom(
g,P)
für jede Sequenz L−→
f M−→
g N von R-Moduln und jedenR-Modul P,(c) Hom
(
,P)
führt kommutierende Diagramme vonR-Modulhomorphismen stets in entsprechende kommutierende Diagramme mit umgekehrter Pfeilrichtung über.(d) IstL
−→
f M−→
g N−→
0 eine exakte Sequenz vonR-Moduln, so ist 0−→
Hom(
N,P)
Hom−→
(g,P)Hom(
M,P)
Hom−→
(f,P)Hom(
L,P)
ebenfalls exakt.Abgabebis Freitag, den 22. Mai, um 11:44 Uhr in die digitalen Briefkästen.
