Universität Konstanz Alexander Taveira Blomenhofer Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2020
Übungsblatt 9 zur Kommutativen Algebra
Aufgabe 1.SeiKein Körper und betrachte das maximale Idealm:
= (
X,Y,Z)
des Po- lynomringsR:=
K[
X,Y,Z]
. BezeichneMdenR-ModulRund Mmseine Lokalisierung nachm. Bilden(a) X1,Y(1−1X),Z(11−X) (b) Y(1−1X),Z(11−X),X1
eine Nichtnullteilerfolge fürMm?
Aufgabe 2.SeiKein Körper undR:
=
K[
X,Y,Z]
wieder der Polynomring in abzählbar vielen Unbestimmten X,Y,Z1,Z2,Z3, . . . über K. Betrachte das maximale Ideal m := (
X,Y,Z1,Z2,Z3, . . .)
von Rund wieder das Ideal I von R, welches von allenYZi und Zi−
XZi+1 mit i∈
N erzeugt ist. Betrachte wieder den R-Modul M :=
R/I und dessen Lokalisierung Mm nachm. Bilden(a) X1,Y1 (b) Y1,X1
eine Nichtnullteilerfolge fürMm?
Aufgabe 3.SeiRein kommutativer Ring,MeinR-Modul. Zeige, dass für allen
∈
N0, alle Nichtnullteilerfolgen a1, . . . ,an für M und alle x1, . . . ,xn∈
M mit ∑ni=1aixi=
0 stetsxi
∈
a1M+
. . .+
anM für allei∈ {
1, . . . ,n}
gilt.Aufgabe 4.Seienk,n
∈
N0, M0, . . . ,Mk Untermoduln vonM mit M=
M0⊇
M1⊇
M2⊇
. . .⊇
Mk=
0und a1, . . . ,an
∈
R, derart, dass a1, . . . ,an eine Nichtnullteilerfolge für jeden der R- ModulnMi/Mi+1
(
i∈ {
0, . . . ,k−
1})
.bilden. Zeige, dass danna1, . . . ,aneine Nichtnullteilerfolge für Mbilden.
Abgabebis Freitag, den 26. Juni, um 11:44 Uhr in die digitalen Briefkästen.
