Universität Konstanz Alexander Taveira Blomenhofer Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2019
Übungsblatt 2 zur Zahlentheorie
Aufgabe 1.Welcher der folgenden Moduln hat die Eigenschaft, dass alle seine Unter- moduln frei sind?
(a) Der PolynomringR
[
X]
als Modul über sich selbst.(b) Der PolynomringR
[
X,Y]
als Modul über sich selbst.(c) Der RingZ
×
Zals Modul über sich selbst.(d) Der RingR2×2 der reellen 2
×
2-Matrizen als Modul über sich selbst.Aufgabe 2.SeiAein Ring und Lein Untermodul desA-Moduls Amit 0
6=
L6=
A.(a) Zeige unter der Voraussetzung, dass kein Untermodul des A-Moduls Aecht zwi- schen Lund Aliegt, dass derA-Modul A/Lnicht frei ist.
(b) Zeige, dass (a) auch ohne die genannte Voraussetzung gilt, wenn der Ring Akom- mutativ ist.
(c) Finde ein Beispiel fürAundL, für das (a) ohne die genannte Voraussetzung nicht gilt.
Aufgabe 3.SeiAein Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:
(a) JederA-Modul ist frei.
(b) Jeder Quotient des A-Moduls Aist frei.
(c) In Abesitzt jedes von 0 verschiedene Element ein Linksinverses, das heißt
∀
a∈
A\ {
0}
:∃
b∈
A:ba=
1.(d) In Abesitzt jedes von 0 verschiedene Element ein Rechtsinverses, das heißt
∀
a∈
A\ {
0}
:∃
b∈
A: ab=
1.Abgabebis Donnerstag, den 2. Mai 2019, um 12:00 Uhr in die Zettelkästen neben F411.
