ϕ+ω= tsinx)t(x =+ 0Dxxm &&

Freie, ungedämpfte, harmonische Schwingungen

m Masse

x

x = − 0 x =

x

x = +

Im Falle des Federschwingers führt die Masse m eine

zeitlich periodische Bewegung um die Ruhelage x = a aus, wenn sie zuvor um den Betrag x0 (Amplitude) aus der Ruhelage ausgelenkt wurde. Die Periodendauer T (reziproke Frequenz) ist bestimmt durch das Gleichgewicht aus Trägheitskraft und Rückstellkraft der Feder und hängt damit von der Masse und der Rückstellkraft der Feder ab.

Aus der Bewegungsgleichung

0 Dx x

m && + =

erhält man die Auslenkung (Elongation) x mit ω0 = ^D/m zu

( ω + ϕ )

= x sin t )

t (

x

Eine solche Lösung erhält man generell, wenn die Kraft linear von x bzw. das Potential der Kraft quadratisch von x abhängt. Ein vom Ort quadratisch abhängendes Potential nennt man auch harmonisch, da es die Ursache für harmonische (sinusförmige) Schwingungen ist.

harmonisches Potential

V ∝ x

harmonische Schwingung

x ( t ) = x

sin ( ω

t + ϕ )

Elongation

x ( t )

Amplitude

x

Kreisfrequenz ; Frequenz

ω

= 2 π f ; f

Phasenwinkel

ϕ

Phase

( ^ω

^{t + ϕ} )

Gesamtenergie _ges ^x₀^{2 2}₀

2 E = m ω

freie, harmonische Schwingung x0 = 1 cm ; f = 1 Hz ; ϕ = 45°

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 1 2 3 4 5

t / s

x / cm

Im Falle einer ungedämpften Schwingung gilt der Satz von der Erhal- tung der mechanischen Energie. Im oben angeführten Beispiel kann die Schwingungsgleichung direkt aus der Energieerhaltung abgeleitet werden:

. const 2 x

x D 2

E

= m &

+

=

Durch Differenzieren nach der Zeit erhält man:

x Dx x x m 0 dtE

d

ges = = & &&+ &

bzw.

0 Dx x

m && + =

oder

0 x

x && + ω

=

Im Falle einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die me- chanische Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße. Es findet eine perio- dische Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie statt. Mit

( ^{ω + ϕ} )

= x sin t )

t (

x

^x _& ^{( t ) = x}

^ω

^cos ( ^ω

^{t + ϕ} )

erhält man durch Einsetzen in ^{Eges = m}₂ ^{x&2 + D}₂ ^x2 für die Gesamt- energie:

2 0 2 0

ges x

2 E = m ω

d.h. für den Federschwinger mit ω0 = ^D/m :

2 0

ges x

2 E = D

und für das mathematische Pendel mit ω0 = ^g/l und x0 =lϕ0:

2 0

ges 2

E = mglϕ

In den folgenden beiden grafischen Darstellungen ist für die Parame- ter m = 1 kg, f = 1 Hz (bzw. ω₀ = 6,28.. s^-1), x0 = 1m die kinetische und potentielle Energie in Abhängigkeit von der Zeit sowie von der Auslenkung x dargestellt:

Energie

m = 1 kg ; f = 1 Hz ; x0 = 1m

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0,5 1 1,5 2 2

t/s

Energie / Nm

,5

kinetische Energie potentielle Energie

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1 -0,5 0 0,5 1

x / m

Energie / Nm

kinetische Energie potentielle Energie Gesamtenergie

Viele Potentiale, die einen Schwingungsvorgang verursachen, sind nicht harmonisch. In der Nähe eines Potentialminimums kann ein nichtharmonisches Potential jedoch meistens durch eine Parabel ange- nähert werden. Für kleine Abweichungen aus der Ruhelage ist dann ein solcher Schwingungsvorgang harmonisch – siehe z.B. das Lenard- Jones-Potential:

Lenard-Jones Potential

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

x / nm Epot / eV

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x / nm

Kraft / willk. Einheiten

Lenard-Jones-Potential harmonische Näherung Kraft

( )







 − −

≅ 1

a a 36 x

E

E ₂

2 0

pot

Das LJP ist quadratisch in den Koordinaten und führt auf eine oszillie- rende Bewegung um die Gleichgewichtslage x = a mit der Frequenz

= µ

= µ

ω_{0 2} ⁰

a E 72 D

wobei µ die reduzierte Masse der beiden wechselwirkenden Massen- punkte darstellt (siehe später – Rotation starrer Körper).