T der ungedämpften Schwingung, wenn man ein Federpendel miteiner Masse von 150 g und die oben beschriebene Feder verwendet?(Hinweis: Verwenden Sie

(1)

Fachhochschule Hannover M2A 09.01.2006 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II im WS0506 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. Zur Bestimmung der Dichte einer unbekannten Flüssigkeit mit

Dichte Fl untersucht man das Verhalten von einem Stück Kork (1) (Dichte Kork:_Kork 200kg m^³) und einem Gewichtsstück aus Aluminium (2) (Dichte Aluminium:Al ^2,70g cm^³). Die Volumina der beiden Auftriebskörper sind gleich. Die

Federwaage (1) zeigt eine Kraft von ^2,31^N, die Federwaage (2) ^7,50^N.

a. Wie groß ist das Volumen der Probekörper?

b. Welche Dichte Fl hat die Flüssigkeit?

2. Ein Kupferdraht mit einer Zugfestigkeit von 220 N mm^-2 soll senkrecht ins Meer hinab gelassen werden. Bei welcher Länge wird der Kupferdraht zerreißen? (Dichte Cu:

8,95 3

Cu g cm

  ^ , Dichte Meerwasser:_MW 1,025g cm^³)

3. Ein dünnwandiges Stahlrohr mit Innendurchmesser d1 100mm, dessen unteres Ende mit einer quadratischen Kupferplatte verschlossen ist, wird ins Wasser getaucht. Die Platte mit Kantenlänge d2 150mm und einer Dicke s10mm soll nur durch den Wasserdruck gegen das Rohrende gedrückt werden. Welche Eintauchtiefe h ist erforderlich, damit sich die Scheibe nicht vom Rohr löst? (Cu ^8,95g cm^³,W ^1,00g cm^³) 4. Hängt man eine Masse von 300 g an eine Feder, so verlängert sie sich

um 6 cm.

a. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz 0 und die Schwingungsdauer

T0 der ungedämpften Schwingung, wenn man ein Federpendel mit einer Masse von 150 g und die oben beschriebene Feder verwendet?

(Hinweis: Verwenden Sie g9,81m s^² und geben Sie das Ergebnis mit mindestens vier Stellen an)

b. Eine sehr genaue Messung der Schwingungsdauer ergibt den Wert von 0,3500 s. Wie groß ist die Abklingkonstante ?

c. Mit welcher Frequenz R muss die Aufhängung periodisch bewegt werden, um das Resonanzmaximum zu erhalten?

d. Wie groß muss das Maximum der periodisch erregenden Kraft sein, die bei der Resonanzfrequenz R eine Resonanzamplitude von 25 cm erzeugt??

e. Wie muss eine homogene dünne Stange der Länge ^L^^{5, 2}^cm aufgehängt werden, damit sie als Schwerependel die gleiche Schwingungsdauer wie das Federpendel hat?

5. Beschreiben Sie erzwungene Schwingungen für unterschiedliche Dämpfungen:

a. Skizzieren Sie Resonanzkurven für vier Abklingkonstanten  mit ⁰^{ }^



^{1 2}



^⁰

b. Was passiert, wenn die Abklingkonstante ^ ^



^{1 2}



^⁰ ist? Begründung!

c. Skizzieren Sie den Winkel  der Phasenverschiebung als Funktion von  a 0.

(2)

Lösungen:

1a. Auftriebskraft ist größer als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F1 zeigt nach oben. Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (1) F1FlVKork g KorkVKorkg

 

1 Fl Kork Kork

F    V g

Auftriebskraft ist kleiner als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F2 zeigt nach unten. Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (2) F2 AlVAl g FlVAlg

 

2 Al Fl Al

F    V g

Umformung nach Fl: Fl Al ²

Al

F

  V g

Einsetzen: 1 Al ² Kork Kork

Al

F F V g

 V g 

 

    

 

Da die Volumina gleich sind, gilt: VAl VKork V

Einsetzen: 1 Al ² Kork

F F V g

 V g 

 

    

 

 

1 2 2

Al Kork Al Kork

F F F

V V V

g   g       g

 

1 2

3

1 2 9,81

9,81 2500

Al Kork Al Kork

F F

F F m

g g

V   g  

 

  

   

3

3 3

9,81 0,0004 400

9,81 2500

V  m  m  cm

 1b. Einsetzen (Gleichung für F2): Fl Al ²

F

  V g



2

3 3

3

2700 7,50 789

0,0004 9,81

Fl

kg m N s kg m

m m

  ^   ^



3 3

789 0,789

Fl kg m g cm

  ^  ^

Probe (Gleichung für F1): Fl ¹ Kork

F

 V g



3 3 3

2,31 200 789 0,789

0,0004 9,81

Fl

kg kg g

m m cm

      

2. Der Draht reißt, wenn die resultierende Kraft Fmax größer als das Produkt aus Zugfestigkeit

maxund Querschnittsfläche A des Drahtes ist.

A F_max _max

Resultierende Kraft Fmax : F_max F_G F_A 



_Cu_MW



ALg

   

2 max

3 2

220

8,95 1,025 9,81

Cu MW

L N mm

g g cm m s



 



 

 

   

 

220 103

8,95 1, 025 9,81 2830

L  m m

 

 

(3)

3. Die Scheibe ist kräftefrei, wenn die Gewichtskraft FG m g gleich der Differenz der Druckkräfte unterhalb und oberhalb der Scheibe ist. p0 sei der äußere Luftdruck (der zur Vereinfachung unabhängig von der Eintauchtiefe h sein soll). Der Druck in der Wassertiefe h ist p h_W( ) p0_W g h.

Die Fläche der Kupferplatte ist: A_P d₂² die Querschnittsfläche des Rohres: 1²

R 4 A  d

Gewichtskraft: F_G m g _CuV g_Cu g A s_P _Cug d s₂² Druckkraft unterhalb der Scheibe: FU 



p0 pW

 

h



AP  p d0 2²W g h d 2²

Druckkraft oberhalb der Scheibe: FO 



p0 pW



h s

 





AP AR



p A0 R

   

0 0 0

O P R R W P R

F  p A p A p A p h s  A A

 

2 2 2

0 2 2 1

O W 4

F  p d  g h s  d  d 

Differenz der Druckkräfte: 2²

 

2² 1²

U O W 4

F F  g h d    h s d  d 

2 2 2

1 2 1

4 4

U O W

F F  g h d s d  s d  Gleichgewichtsbedingung: FG FU FO

2 2 2 2

2 1 2 1

4 4

Cus d g W g  h d s d  s d

     

2 2 2 1

4 ^Cu 1 1

W

h s d d



 

   

     

2 2

4 150 8,95

0, 01 1 1 0, 238

100 1,00

h m m



   

      

 

4a. Federkonstante: 2 ¹

0,3 9,81

49, 05 0,06

F kg m

D N m

s m s

  

  



Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung:

1

0 2

49,05

18,0831 0,15

D kg m

m s kg m s

    ^

Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung:

0 0

2 0,347461

T  s

   4b. Gemessene Schwingungsdauer: Te ^0,3500s

Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung: 2 ¹ 17,9520

e e

T s

    ^

Abklingkonstante:   ₀²_e²

(4)

2 2 1 1

18, 0831 17,9520 s 2,1735s

   ^  ^

4c. Resonanzfrequenz: _R  ₀²2²  18,0831² 2 2,1735² s^¹ 17,8199 1

R s

  ^

Schwingungsdauer der Erregung: 2

0,3526

R R

T  s

 

4d. Resonanzamplitude: x^max_R x_R



_a   _R, 0,



  ^ ^

max

2 2

0 2

a R

R R

x f

  



 

  ^ ^

max max

2 2

0

/ 2

err R

R R

F m

x

  



 

Maximale Kraft des Erregers ^F^err^max ^{ }^{m x}^R^max



^⁰²^^^R²



²^

^

²^^R

^

²

 

²

^ ^

²

max 0,15 0, 25 18,08312 17,81992 2 2,1735 17,8199 2

Ferr  kg m     s^

  

²



²

max 0,15 0, 25 326,9985 317,5488 77, 4631 2

Ferr  kg m   s^

  

²



²

max 0,15 0, 25 9, 4497 77, 4631 2

Ferr  kg m  s^

max 0,15 0, 25 78,0374 2 2,9264 Ferr  kg m s^  N

max 2,93

FErr  N

4e. Gesucht ist ein Stangenpendel (entspricht einem physikalischen Pendel) mit der Eigenkreisfrequenz ₀ 18,0831s^¹.

Physikalisches Pendel: 0

ges

m g d

  J

2 0

ges

m g d

  J

2 0

Jges m g d

Trägheitsmoment dünne Stange: ² ¹ ²

ges 12

J m d  m L

2 2

2 0

1 12

m g d m d m L

  

2 2

2 0

2 1

2 12

d g d L

   

2 2

1/ 2 4 2

0 0

4 12 2

g L g

d      

(5)

Es ist:

2 2

4 4

0

9,81 0,000225

2 4 18, 0831

g m m

  



und ¹ ² ^{0, 052} ² ^{0, 000225} ²

12L  12 m  m

und somit ist der Wert der Wurzel gleich Null.

Lösung (eindeutig): 1 2 2

0

9,81 0, 015 1,5 2 2 18, 0831

d d d g m m cm

      

 5a. Siehe Vorlesung

5b. Wenn: 0

1

  2

folgt: _R  ₀²2² 0

Die Resonanzfrequenz ist also bei a R ⁰, d. h. es gibt keine Amplitudenüberhöhung.

5c. siehe Vorlesung